Номер 3.14, страница 166 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.14. Приведите по два примера уравнений парабол, вершинами которых являются точки:

a) $ (3; 8) $;

б) $ (-8; -6) $;

в) $ (0; -3) $;

г) $ (5; 0) $.

Для решения задачи используется вершинная форма уравнения параболы $y = a(x-h)^2 + k$, где $(h, k)$ – координаты вершины. Коэффициент $a \neq 0$ определяет направление и форму ветвей. Для каждой точки мы подставим её координаты в уравнение и выберем два разных значения для $a$. Для выполнения условия о выделении целой части, будем использовать в том числе и неправильные дроби, записывая их как смешанные числа.

а) Для вершины в точке $(3; 8)$ имеем $h=3$ и $k=8$. Уравнение принимает вид $y = a(x-3)^2 + 8$. В качестве примеров выберем $a=2$ и $a = -\frac{5}{2}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $a = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$.

Ответ: $y = 2(x-3)^2 + 8$ и $y = -\mathbf{2}\frac{1}{2}(x-3)^2 + 8$.

б) Для вершины в точке $(-8; -6)$ имеем $h=-8$ и $k=-6$. Уравнение принимает вид $y = a(x+8)^2 - 6$. В качестве примеров выберем $a=-1$ и $a = \frac{3}{2}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $a = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: $y = -(x+8)^2 - 6$ и $y = \mathbf{1}\frac{1}{2}(x+8)^2 - 6$.

в) Для вершины в точке $(0; -3)$ имеем $h=0$ и $k=-3$. Уравнение принимает вид $y = ax^2 - 3$. В качестве примеров выберем $a=4$ и $a = -\frac{7}{3}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $a = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$.

Ответ: $y = 4x^2 - 3$ и $y = -\mathbf{2}\frac{1}{3}x^2 - 3$.

г) Для вершины в точке $(5; 0)$ имеем $h=5$ и $k=0$. Уравнение принимает вид $y = a(x-5)^2$. В качестве примеров выберем $a=-3$ и $a = \frac{11}{4}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $a = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$.

Ответ: $y = -3(x-5)^2$ и $y = \mathbf{2}\frac{3}{4}(x-5)^2$.