Номер 3.5, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.5. Для каждой из квадратичных функций определите, в какой форме она записана:

а) $f(x) = 5x^2 - 3x + 2;$

б) $f(x) = (x + 1)(x - 5);$

в) $f(x) = 7(x - 2)^2 + 8;$

г) $f(x) = -2x^2 + 7x - 1;$

д) $f(x) = (9 - x)(3x + 4);$

е) $f(x) = -4(x + 1)^2 - 5.$

Квадратичная функция может быть записана в одной из трех основных форм, каждая из которых имеет свои преимущества для анализа функции.

• Стандартная форма (общий вид): $f(x) = ax^2 + bx + c$. Эта форма удобна для нахождения точки пересечения с осью ординат (это точка $(0, c)$) и применения формулы для вычисления корней.
• Вершинная форма: $f(x) = a(x - h)^2 + k$. Эта форма непосредственно показывает координаты вершины параболы — точку $(h, k)$.
• Разложенная на множители форма (факторизованная): $f(x) = a(x - p)(x - q)$. Эта форма явно указывает на корни функции (точки пересечения с осью абсцисс), которые равны $p$ и $q$.

Определим форму для каждой из предложенных функций:

а) Функция $f(x) = 5x^2 - 3x + 2$ записана в виде многочлена второй степени. Это соответствует стандартной форме $f(x) = ax^2 + bx + c$, где $a=5$, $b=-3$, $c=2$. Ответ: Стандартная форма.

б) Функция $f(x) = (x + 1)(x - 5)$ представлена как произведение двух линейных множителей. Это разложенная на множители форма $f(x) = a(x - p)(x - q)$, где $a=1$, а корни (точки пересечения с осью X) равны $p = -1$ и $q = 5$. Ответ: Разложенная на множители форма.

в) Функция $f(x) = 7(x - 2)^2 + 8$ записана в виде, который позволяет легко определить вершину параболы. Это вершинная форма $f(x) = a(x - h)^2 + k$, где $a=7$, а вершина находится в точке $(h, k) = (2, 8)$. Ответ: Вершинная форма.

г) Функция $f(x) = -2x^2 + 7x - 1$ также записана в виде многочлена второй степени. Это стандартная форма $f(x) = ax^2 + bx + c$, где $a=-2$, $b=7$, $c=-1$. Ответ: Стандартная форма.

д) Функция $f(x) = (9 - x)(3x + 4)$ представлена как произведение двух линейных множителей. Это разложенная на множители форма, так как она показывает корни функции, которые можно найти, приравняв каждый множитель к нулю. Ответ: Разложенная на множители форма.

е) Функция $f(x) = -4(x + 1)^2 - 5$ записана в виде, который позволяет легко определить вершину параболы. Это вершинная форма $f(x) = a(x - h)^2 + k$, где $a=-4$, а вершина находится в точке $(h, k) = (-1, -5)$. Ответ: Вершинная форма.