Номер 1, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Решите уравнение $x^2 + 5y^2 - 4xy - 6y + 9 = 0$.

Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты. Исходное уравнение:

$x^2 + 5y^2 - 4xy - 6y + 9 = 0$

Сгруппируем члены, содержащие $x$. Члены $x^2$ и $-4xy$ похожи на первые два члена формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Если взять $a=x$, то $-2xb = -4xy$, откуда $b=2y$. Тогда третий член должен быть $b^2 = (2y)^2 = 4y^2$.

Представим $5y^2$ в виде суммы $4y^2 + y^2$ и перегруппируем слагаемые в уравнении:

$(x^2 - 4xy + 4y^2) + (y^2 - 6y + 9) = 0$

Теперь мы видим, что выражение в первой скобке является полным квадратом разности $(x - 2y)$, а выражение во второй скобке — полным квадратом разности $(y - 3)$:

• $(x - 2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$
• $(y - 3)^2 = y^2 - 6y + 9$

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$(x - 2y)^2 + (y - 3)^2 = 0$

Сумма квадратов двух действительных выражений равна нулю только в том случае, если каждое из этих выражений равно нулю, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Это приводит нас к системе двух уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ y - 3 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения сразу находим значение $y$:

$y - 3 = 0 \implies y = 3$

Теперь подставляем найденное значение $y=3$ в первое уравнение системы:

$x - 2(3) = 0$

$x - 6 = 0 \implies x = 6$

Итак, единственным решением данного уравнения является пара чисел $x=6$ и $y=3$.

1. Ответ: $x = 6, y = 3$.