Номер 5, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. В ботаническом саду оформляют клумбы для выставки роз. Ландшафтный дизайнер решил разместить кусты красных и розовых роз так, как показано на рисунке 43.

Рис. 43

а) Заполните таблицу.

Проанализируем структуру клумб. Пусть $N$ — количество кустов в одном ряду квадратной клумбы. Из рисунка видно, что $N$ — это нечетное число ($5, 7, 9, \dots$).

• Красные розы высажены по периметру. Их количество можно рассчитать по формуле периметра квадрата со стороной $N$: $4N - 4$ (чтобы не считать угловые кусты дважды) или $4 \times (N-1)$.
• Розовые розы высажены во внутреннем квадрате. Сторона этого квадрата на 2 меньше, чем у внешнего, то есть равна $N-2$. Количество розовых роз равно $(N-2)^2$.

Заполним таблицу, используя эти формулы:

• Для $N=5$:
  • Красных роз: $4 \times (5-1) = 16$.
  • Розовых роз: $(5-2)^2 = 3^2 = 9$.
• Для $N=7$:
  • Красных роз: $4 \times (7-1) = 24$.
  • Розовых роз: $(7-2)^2 = 5^2 = 25$.
• Для $N=9$:
  • Красных роз: $4 \times (9-1) = 32$.
  • Розовых роз: $(9-2)^2 = 7^2 = 49$.
• Для общего случая $N=2n+1$:
  • Красных роз: $4 \times ((2n+1)-1) = 4 \times (2n) = 8n$.
  • Розовых роз: $((2n+1)-2)^2 = (2n-1)^2$.

Ответ:

б) Определите, может ли число кустов красных роз оказаться равным числу кустов розовых роз на одной клумбе.

Чтобы найти, возможно ли равенство, приравняем формулы для количества красных и розовых роз, где $N$ — количество кустов в ряду:

$4(N-1) = (N-2)^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$4N - 4 = N^2 - 4N + 4$

$N^2 - 8N + 8 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 64 - 32 = 32$

$N_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}$

Поскольку $\sqrt{2}$ — иррациональное число, корни уравнения также являются иррациональными. Количество кустов в ряду $N$ должно быть целым числом. Следовательно, не существует такой клумбы, где число красных роз равно числу розовых.

Ответ: нет, не может.

в) Найдите, на сколько число кустов красных роз отличается от числа кустов розовых роз на пятой клумбе; на k-й клумбе.

Количество кустов в ряду для $k$-й клумбы ($N_k$) образует арифметическую прогрессию 5, 7, 9, ... с первым членом $a_1=5$ и разностью $d=2$. Формула для $k$-го члена:

$N_k = a_1 + (k-1)d = 5 + (k-1)2 = 2k + 3$

Для пятой клумбы ($k=5$):

Найдем количество кустов в ряду: $N_5 = 2 \cdot 5 + 3 = 13$.

• Число красных роз: $4(N_5 - 1) = 4(13 - 1) = 48$.
• Число розовых роз: $(N_5 - 2)^2 = (13 - 2)^2 = 11^2 = 121$.

Разница между числом розовых и красных роз: $121 - 48 = 73$.

Для $k$-й клумбы:

Используем общую формулу $N_k = 2k + 3$:

• Число красных роз: $R_k = 4(N_k - 1) = 4((2k+3) - 1) = 4(2k+2) = 8k+8$.
• Число розовых роз: $P_k = (N_k - 2)^2 = ((2k+3) - 2)^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1$.

Разница (абсолютное значение) между числом роз:

$|P_k - R_k| = |(4k^2+4k+1) - (8k+8)| = |4k^2 - 4k - 7|$

Ответ: на пятой клумбе число розовых роз на 73 больше, чем красных; на $k$-й клумбе разница составляет $|4k^2 - 4k - 7|$.