Номер 3, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Предприниматель получил кредит под определенный процент годовых с возможностью досрочного погашения кредита. Через год в счет погашения кредита предприниматель вернул $\frac{1}{5}$ суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита предприниматель внес сумму, на 15,2 % превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в этом банке?

Обозначим сумму кредита как $S$, а годовую процентную ставку как $p$. Тогда коэффициент, на который ежегодно увеличивается сумма долга, равен $k = 1 + \frac{p}{100}$.

1. Расчет долга через год и первого платежа.

Через год сумма долга с учетом начисленных процентов составит:

$D_1 = S \cdot k$

Предприниматель вернул $\frac{1}{5}$ этой суммы. Размер первого платежа составил:

$P_1 = \frac{1}{5} D_1 = \frac{1}{5} S k$

После первого платежа остаток долга стал равен:

$O_1 = D_1 - P_1 = S k - \frac{1}{5} S k = \frac{4}{5} S k$

2. Расчет долга через два года и второго платежа.

На оставшуюся сумму ($\frac{4}{5} S k$) через год снова были начислены проценты. Сумма долга к концу второго года составила:

$D_2 = O_1 \cdot k = \left(\frac{4}{5} S k\right) \cdot k = \frac{4}{5} S k^2$

По условию задачи, для полного погашения кредита предприниматель внес сумму, на 15,2% превышающую величину полученного кредита $S$. Рассчитаем эту сумму:

$P_2 = S + 0.152 \cdot S = 1.152 \cdot S$

3. Составление и решение уравнения.

Второй платеж $P_2$ полностью погасил долг $D_2$, следовательно, они равны:

$\frac{4}{5} S k^2 = 1.152 S$

Поскольку сумма кредита $S$ не равна нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $S$:

$\frac{4}{5} k^2 = 1.152$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную для удобства вычислений ($\frac{4}{5} = 0.8$):

$0.8 k^2 = 1.152$

Теперь найдем $k^2$:

$k^2 = \frac{1.152}{0.8} = \frac{11.52}{8} = 1.44$

Найдем $k$, взяв квадратный корень. Так как $k$ — это коэффициент роста, он должен быть положительным:

$k = \sqrt{1.44} = 1.2$

4. Нахождение процентной ставки.

Мы знаем, что $k = 1 + \frac{p}{100}$. Подставим найденное значение $k$:

$1.2 = 1 + \frac{p}{100}$

$\frac{p}{100} = 1.2 - 1 = 0.2$

$p = 0.2 \cdot 100 = 20$

Таким образом, процент годовых по кредиту в этом банке составляет 20%.

Ответ: 20.