Номер 1, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Решите уравнение $x^2+5y^2-4xy-6y+9=0$.

Для решения данного уравнения с двумя переменными сгруппируем его члены таким образом, чтобы выделить полные квадраты. Это стандартный метод для уравнений такого типа.

Исходное уравнение:

$x^2 + 5y^2 - 4xy - 6y + 9 = 0$

Заметим, что слагаемые $x^2$, $-4xy$ и часть от $5y^2$ можно объединить в полный квадрат. Для этого представим $5y^2$ в виде суммы $4y^2 + y^2$.

$(x^2 - 4xy + 4y^2) + y^2 - 6y + 9 = 0$

Первая группа слагаемых в скобках представляет собой квадрат разности $(x - 2y)^2$.

Оставшиеся слагаемые $y^2 - 6y + 9$ также образуют полный квадрат разности $(y - 3)^2$, так как $y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = (y-3)^2$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде суммы двух квадратов:

$(x - 2y)^2 + (y - 3)^2 = 0$

Сумма квадратов двух действительных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю. Это следует из того, что квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($a^2 \ge 0$).

Следовательно, мы получаем систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} y - 3 = 0 \\ x - 2y = 0 \end{cases} $

Решим эту систему. Из первого уравнения находим значение $y$:

$y - 3 = 0 \implies y = 3$

Подставим найденное значение $y=3$ во второе уравнение, чтобы найти $x$:

$x - 2(3) = 0$

$x - 6 = 0 \implies x = 6$

Таким образом, единственным решением уравнения является пара чисел $(6; 3)$.