Номер 1.100, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.100. Упростите выражение:

a) $\frac{7m-1}{16m-8} - \frac{7-4m}{8-16m} - \frac{3m+2}{8-16m}$

б) $\frac{2x^2+11x}{x^2-25} + \frac{7x-2}{25-x^2} - \frac{x^2+14x-23}{x^2-25}$

а) $\frac{7m-1}{16m-8} - \frac{7-4m}{8-16m} - \frac{3m+2}{8-16m}$

Для упрощения выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели второй и третьей дробей, $8-16m$, можно представить как $-(16m-8)$. Это позволит нам использовать $16m-8$ в качестве общего знаменателя.

Изменим знак перед второй и третьей дробями, одновременно изменив знак их знаменателей:

$\frac{7m-1}{16m-8} - \frac{7-4m}{-(16m-8)} - \frac{3m+2}{-(16m-8)} = \frac{7m-1}{16m-8} + \frac{7-4m}{16m-8} + \frac{3m+2}{16m-8}$

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{(7m-1) + (7-4m) + (3m+2)}{16m-8}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{7m-1+7-4m+3m+2}{16m-8} = \frac{(7m-4m+3m) + (-1+7+2)}{16m-8} = \frac{6m+8}{16m-8}$

Для завершения упрощения, разложим числитель и знаменатель на множители и сократим общие множители:

$\frac{2(3m+4)}{8(2m-1)} = \frac{3m+4}{4(2m-1)}$

Ответ: $\frac{3m+4}{4(2m-1)}$

б) $\frac{2x^2+11x}{x^2-25} + \frac{7x-2}{25-x^2} - \frac{x^2+14x-23}{x^2-25}$

Приведем все дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $25-x^2$ является противоположным знаменателю $x^2-25$, так как $25-x^2 = -(x^2-25)$.

Заменим в выражении дробь $\frac{7x-2}{25-x^2}$ на $-\frac{7x-2}{x^2-25}$:

$\frac{2x^2+11x}{x^2-25} - \frac{7x-2}{x^2-25} - \frac{x^2+14x-23}{x^2-25}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем, объединив их числители:

$\frac{(2x^2+11x) - (7x-2) - (x^2+14x-23)}{x^2-25}$

Раскроем скобки в числителе, меняя знаки слагаемых, перед которыми стоял минус:

$\frac{2x^2+11x-7x+2-x^2-14x+23}{x^2-25}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{(2x^2-x^2) + (11x-7x-14x) + (2+23)}{x^2-25} = \frac{x^2-10x+25}{x^2-25}$

Числитель является полным квадратом $(x-5)^2$, а знаменатель — разностью квадратов $(x-5)(x+5)$. Разложим их на множители и сократим дробь:

$\frac{(x-5)^2}{(x-5)(x+5)} = \frac{x-5}{x+5}$ (при $x \neq 5$)

Полученная дробь $\frac{x-5}{x+5}$ является неправильной, так как степень числителя равна степени знаменателя. Выделим целую часть:

$\frac{x-5}{x+5} = \frac{(x+5)-10}{x+5} = \frac{x+5}{x+5} - \frac{10}{x+5} = 1 - \frac{10}{x+5}$

Ответ: 1$ - \frac{10}{x+5}$