Номер 1.102, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.102. Докажите, что значение выражения

$\frac{(2-x)^2}{x^2-3} - \frac{3x-2}{3-x^2} + \frac{x-5}{x^2-3}$

не зависит от значения переменной.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо упростить данное выражение.

Дано выражение:

$$ \frac{(2-x)^2}{x^2-3} - \frac{3x-2}{3-x^2} + \frac{x-5}{x^2-3} $$

1. Приведем все дроби к общему знаменателю. Знаменатели первой и третьей дробей равны $x^2-3$. Знаменатель второй дроби $3-x^2$. Заметим, что $3-x^2 = -(x^2-3)$.

Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя:

$$ -\frac{3x-2}{3-x^2} = -\frac{3x-2}{-(x^2-3)} = \frac{3x-2}{x^2-3} $$

2. Теперь подставим преобразованную дробь в исходное выражение. Все дроби будут иметь одинаковый знаменатель $x^2-3$:

$$ \frac{(2-x)^2}{x^2-3} + \frac{3x-2}{x^2-3} + \frac{x-5}{x^2-3} $$

3. Сложим дроби, объединив их числители:

$$ \frac{(2-x)^2 + (3x-2) + (x-5)}{x^2-3} $$

4. Упростим числитель. Раскроем скобки. Для $(2-x)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$$ (2-x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 - 4x + x^2 $$

Теперь весь числитель выглядит так:

$$ 4 - 4x + x^2 + 3x - 2 + x - 5 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ x^2 + (-4x + 3x + x) + (4 - 2 - 5) = x^2 + 0x - 3 = x^2 - 3 $$

5. Подставим упрощенный числитель обратно в выражение:

$$ \frac{x^2 - 3}{x^2 - 3} $$

При условии, что знаменатель не равен нулю (область допустимых значений $x^2 - 3 \neq 0$, то есть $x \neq \pm\sqrt{3}$), данная дробь равна 1.

$$ \frac{x^2 - 3}{x^2 - 3} = 1 $$

Таким образом, значение выражения является константой (равно 1) и не зависит от значения переменной $x$ на всей области определения.

Ответ: Так как в результате упрощения выражение равно 1, его значение не зависит от переменной $x$, что и требовалось доказать.