Номер 1.98, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.98. Поменяйте знак в знаменателе одной из дробей и перед этой дробью, а затем упростите выражение:

а) $\frac{3a}{a - b} + \frac{3b}{b - a}$;

б) $\frac{c - 5d}{c - d} - \frac{5d}{d - c}$;

в) $\frac{x + 2y}{y - x} + \frac{x + 3y}{x - y}$;

г) $\frac{m - 3}{m - 2} - \frac{m + 3}{2 - m}$;

д) $\frac{2a - 7}{a - b} + \frac{a + 7}{b - a}$;

е) $\frac{b^2}{b - 4} + \frac{16}{4 - b}$;

ж) $\frac{3y}{9y^2 - 1} - \frac{1}{1 - 9y^2}$;

з) $\frac{a^2 + 4b^2}{a - 2b} + \frac{4ab}{2b - a}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{3a}{a-b} + \frac{3b}{b-a}$, поменяем знак в знаменателе второй дроби и знак перед ней. Так как $b-a = -(a-b)$, получаем:

$\frac{3a}{a-b} + \frac{3b}{b-a} = \frac{3a}{a-b} - \frac{3b}{a-b}$

Теперь дроби имеют одинаковый знаменатель. Выполним вычитание:

$\frac{3a-3b}{a-b} = \frac{3(a-b)}{a-b} = 3$

Ответ: а) 3

б) В выражении $\frac{c-5d}{c-d} - \frac{5d}{d-c}$ поменяем знак в знаменателе второй дроби ($d-c = -(c-d)$) и знак перед ней:

$\frac{c-5d}{c-d} - \frac{5d}{d-c} = \frac{c-5d}{c-d} + \frac{5d}{c-d}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{c-5d+5d}{c-d} = \frac{c}{c-d}$

Это неправильная дробь, так как степень числителя равна степени знаменателя. Выделим целую часть:

$\frac{c}{c-d} = \frac{(c-d)+d}{c-d} = \frac{c-d}{c-d} + \frac{d}{c-d} = 1 + \frac{d}{c-d}$

Ответ: б) 1 + $\frac{d}{c-d}$

в) В выражении $\frac{x+2y}{y-x} + \frac{x+3y}{x-y}$ приведем дроби к общему знаменателю $x-y$. Для этого в первой дроби поменяем знак в знаменателе ($y-x = -(x-y)$) и знак перед дробью:

$\frac{x+2y}{y-x} + \frac{x+3y}{x-y} = -\frac{x+2y}{x-y} + \frac{x+3y}{x-y}$

Выполним сложение:

$\frac{-(x+2y) + (x+3y)}{x-y} = \frac{-x-2y+x+3y}{x-y} = \frac{y}{x-y}$

Выделим целую часть из полученной неправильной дроби:

$\frac{y}{x-y} = \frac{-(x-y)+x}{x-y} = \frac{-(x-y)}{x-y} + \frac{x}{x-y} = -1 + \frac{x}{x-y}$

Ответ: в) -1 + $\frac{x}{x-y}$

г) В выражении $\frac{m-3}{m-2} - \frac{m+3}{2-m}$ поменяем знак в знаменателе второй дроби ($2-m = -(m-2)$) и знак перед ней:

$\frac{m-3}{m-2} - \frac{m+3}{2-m} = \frac{m-3}{m-2} + \frac{m+3}{m-2}$

Сложим дроби:

$\frac{(m-3)+(m+3)}{m-2} = \frac{m-3+m+3}{m-2} = \frac{2m}{m-2}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{2m}{m-2} = \frac{2(m-2)+4}{m-2} = \frac{2(m-2)}{m-2} + \frac{4}{m-2} = 2 + \frac{4}{m-2}$

Ответ: г) 2 + $\frac{4}{m-2}$

д) В выражении $\frac{2a-7}{a-b} + \frac{a+7}{b-a}$ поменяем знак в знаменателе второй дроби ($b-a = -(a-b)$) и знак перед ней:

$\frac{2a-7}{a-b} + \frac{a+7}{b-a} = \frac{2a-7}{a-b} - \frac{a+7}{a-b}$

Выполним вычитание:

$\frac{(2a-7)-(a+7)}{a-b} = \frac{2a-7-a-7}{a-b} = \frac{a-14}{a-b}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{a-14}{a-b} = \frac{(a-b) - 14 + b}{a-b} = \frac{a-b}{a-b} + \frac{b-14}{a-b} = 1 + \frac{b-14}{a-b}$

Ответ: д) 1 + $\frac{b-14}{a-b}$

е) В выражении $\frac{b^2}{b-4} + \frac{16}{4-b}$ поменяем знак в знаменателе второй дроби ($4-b = -(b-4)$) и знак перед ней:

$\frac{b^2}{b-4} + \frac{16}{4-b} = \frac{b^2}{b-4} - \frac{16}{b-4}$

Выполним вычитание и применим формулу разности квадратов в числителе:

$\frac{b^2-16}{b-4} = \frac{(b-4)(b+4)}{b-4} = b+4$

Ответ: е) b+4

ж) В выражении $\frac{3y}{9y^2-1} - \frac{1}{1-9y^2}$ поменяем знак в знаменателе второй дроби ($1-9y^2 = -(9y^2-1)$) и знак перед ней:

$\frac{3y}{9y^2-1} - \frac{1}{1-9y^2} = \frac{3y}{9y^2-1} + \frac{1}{9y^2-1}$

Сложим дроби, а затем разложим знаменатель по формуле разности квадратов:

$\frac{3y+1}{9y^2-1} = \frac{3y+1}{(3y-1)(3y+1)}$

Сократим дробь:

$\frac{1}{3y-1}$

Ответ: ж) $\frac{1}{3y-1}$

з) В выражении $\frac{a^2+4b^2}{a-2b} + \frac{4ab}{2b-a}$ поменяем знак в знаменателе второй дроби ($2b-a = -(a-2b)$) и знак перед ней:

$\frac{a^2+4b^2}{a-2b} + \frac{4ab}{2b-a} = \frac{a^2+4b^2}{a-2b} - \frac{4ab}{a-2b}$

Выполним вычитание и свернем числитель по формуле квадрата разности:

$\frac{a^2+4b^2-4ab}{a-2b} = \frac{a^2-4ab+4b^2}{a-2b} = \frac{(a-2b)^2}{a-2b}$

Сократим дробь:

$a-2b$

Ответ: з) a-2b