Номер 1.95, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.95. Выполните действия:

а) $\frac{y}{y^2 - 16} + \frac{4}{y^2 - 16}$;

б) $\frac{a^2}{a + b} - \frac{b^2}{a + b}$;

В) $\frac{4x}{x^2 - y^2} + \frac{4y}{x^2 - y^2}$;

Г) $\frac{10}{c^2 - 4} - \frac{5c}{c^2 - 4}$;

Д) $\frac{3x^2}{(x - y)^2} - \frac{3y^2}{(x - y)^2}$;

е) $\frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2} + \frac{2mn}{m^2 - n^2}$;

Ж) $\frac{c^2 + 3c}{c^2 - 4} - \frac{7c - 4}{c^2 - 4}$;

З) $\frac{3b^2}{b^2 - 6b + 9} - \frac{2b^2 + 9}{b^2 - 6b + 9}$;

И) $\frac{a^2 - a}{a - 5} - \frac{a + 15}{a - 5}$;

К) $\frac{x^2}{x^2 - 6x + 8} - \frac{4}{x^2 - 6x + 8}$.

а) Так как у дробей одинаковые знаменатели, мы можем сложить их числители, оставив знаменатель без изменений:

$\frac{y}{y^2 - 16} + \frac{4}{y^2 - 16} = \frac{y + 4}{y^2 - 16}$

Знаменатель $y^2 - 16$ является разностью квадратов. Разложим его на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y^2 - 16 = (y - 4)(y + 4)$

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в выражение и сократим дробь на общий множитель $(y+4)$:

$\frac{y + 4}{(y - 4)(y + 4)} = \frac{1}{y - 4}$

Ответ: $\frac{1}{y - 4}$

б) Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители:

$\frac{a^2}{a + b} - \frac{b^2}{a + b} = \frac{a^2 - b^2}{a + b}$

Числитель $a^2 - b^2$ — это разность квадратов. Разложим его на множители:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Подставим и сократим дробь на общий множитель $(a+b)$:

$\frac{(a - b)(a + b)}{a + b} = a - b$

Ответ: $a - b$

в) Складываем числители, так как знаменатели дробей совпадают:

$\frac{4x}{x^2 - y^2} + \frac{4y}{x^2 - y^2} = \frac{4x + 4y}{x^2 - y^2}$

В числителе вынесем общий множитель 4 за скобки. Знаменатель разложим как разность квадратов:

$\frac{4(x + y)}{(x - y)(x + y)}$

Сокращаем дробь на $(x+y)$:

$\frac{4}{x - y}$

Ответ: $\frac{4}{x - y}$

г) Выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{10}{c^2 - 4} - \frac{5c}{c^2 - 4} = \frac{10 - 5c}{c^2 - 4}$

В числителе вынесем за скобки множитель -5. Знаменатель разложим на множители как разность квадратов:

$\frac{-5(c - 2)}{(c - 2)(c + 2)}$

Сократим общий множитель $(c-2)$:

$\frac{-5}{c + 2}$

Ответ: $-\frac{5}{c + 2}$

д) Так как знаменатели дробей одинаковы, вычитаем числители:

$\frac{3x^2}{(x - y)^2} - \frac{3y^2}{(x - y)^2} = \frac{3x^2 - 3y^2}{(x - y)^2}$

В числителе вынесем общий множитель 3 и применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\frac{3(x^2 - y^2)}{(x - y)^2} = \frac{3(x - y)(x + y)}{(x - y)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-y)$:

$\frac{3(x + y)}{x - y}$

Полученная дробь является неправильной. Выделим целую часть. Для этого представим числитель $3(x+y) = 3x+3y$ в виде $3(x-y)+6y$:

$\frac{3(x - y) + 6y}{x - y} = \frac{3(x - y)}{x - y} + \frac{6y}{x - y} = 3 + \frac{6y}{x - y}$

Ответ: $3 + \frac{6y}{x - y}$

е) Складываем дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2} + \frac{2mn}{m^2 - n^2} = \frac{m^2 + n^2 + 2mn}{m^2 - n^2}$

Числитель $m^2 + 2mn + n^2$ является полным квадратом суммы $(m+n)^2$. Знаменатель $m^2 - n^2$ — разность квадратов $(m-n)(m+n)$:

$\frac{(m + n)^2}{(m - n)(m + n)}$

Сокращаем дробь на $(m+n)$:

$\frac{m + n}{m - n}$

Дробь неправильная. Выделим целую часть, представив числитель $m+n$ в виде $(m-n)+2n$:

$\frac{(m - n) + 2n}{m - n} = \frac{m - n}{m - n} + \frac{2n}{m - n} = 1 + \frac{2n}{m - n}$

Ответ: $1 + \frac{2n}{m - n}$

ж) Выполняем вычитание, обращая внимание на знаки в числителе второй дроби:

$\frac{c^2 + 3c}{c^2 - 4} - \frac{7c - 4}{c^2 - 4} = \frac{(c^2 + 3c) - (7c - 4)}{c^2 - 4} = \frac{c^2 + 3c - 7c + 4}{c^2 - 4} = \frac{c^2 - 4c + 4}{c^2 - 4}$

Числитель является полным квадратом разности $(c-2)^2$, а знаменатель — разностью квадратов $(c-2)(c+2)$:

$\frac{(c - 2)^2}{(c - 2)(c + 2)}$

Сокращаем на $(c-2)$:

$\frac{c - 2}{c + 2}$

Выделим целую часть из неправильной дроби. Представим числитель $c-2$ как $(c+2)-4$:

$\frac{(c + 2) - 4}{c + 2} = \frac{c + 2}{c + 2} - \frac{4}{c + 2} = 1 - \frac{4}{c + 2}$

Ответ: $1 - \frac{4}{c + 2}$

з) Вычитаем дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{3b^2}{b^2 - 6b + 9} - \frac{2b^2 + 9}{b^2 - 6b + 9} = \frac{3b^2 - (2b^2 + 9)}{b^2 - 6b + 9} = \frac{3b^2 - 2b^2 - 9}{b^2 - 6b + 9} = \frac{b^2 - 9}{b^2 - 6b + 9}$

Числитель — разность квадратов $(b-3)(b+3)$. Знаменатель — полный квадрат разности $(b-3)^2$:

$\frac{(b - 3)(b + 3)}{(b - 3)^2}$

Сокращаем на $(b-3)$:

$\frac{b + 3}{b - 3}$

Это неправильная дробь. Выделим целую часть, представив числитель $b+3$ как $(b-3)+6$:

$\frac{(b - 3) + 6}{b - 3} = \frac{b - 3}{b - 3} + \frac{6}{b - 3} = 1 + \frac{6}{b - 3}$

Ответ: $1 + \frac{6}{b - 3}$

и) Выполняем вычитание дробей:

$\frac{a^2 - a}{a - 5} - \frac{a + 15}{a - 5} = \frac{(a^2 - a) - (a + 15)}{a - 5} = \frac{a^2 - a - a - 15}{a - 5} = \frac{a^2 - 2a - 15}{a - 5}$

Разложим числитель на множители. Корнями уравнения $a^2 - 2a - 15 = 0$ являются $a=5$ и $a=-3$. Тогда $a^2 - 2a - 15 = (a-5)(a+3)$:

$\frac{(a - 5)(a + 3)}{a - 5}$

Сокращаем дробь на $(a-5)$:

$a + 3$

Ответ: $a + 3$

к) Выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{x^2}{x^2 - 6x + 8} - \frac{4}{x^2 - 6x + 8} = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 6x + 8}$

Числитель — разность квадратов $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Знаменатель $x^2 - 6x + 8$ разложим на множители. Корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ это $x=2$ и $x=4$. Значит, $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$:

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x - 4)}$

Сокращаем на $(x-2)$:

$\frac{x + 2}{x - 4}$

Выделим целую часть из полученной неправильной дроби. Представим $x+2$ как $(x-4)+6$:

$\frac{(x - 4) + 6}{x - 4} = \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{6}{x - 4} = 1 + \frac{6}{x - 4}$

Ответ: $1 + \frac{6}{x - 4}$