Номер 1.90, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.90. Выполните вычитание рациональных дробей:

а) $ \frac{9a^2}{8} - \frac{5a^2}{8}; $

б) $ \frac{2m}{5ab} - \frac{7}{5ab}; $

в) $ \frac{6b^3}{25c} - \frac{b^3}{25c}; $

г) $ \frac{b}{ad} - \frac{3c}{ad}; $

д) $ \frac{x^2}{9y} - \frac{z^2}{9y}; $

е) $ \frac{5k^4}{2mn} - \frac{7k^4}{2mn}. $

а) Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений.
$ \frac{9a^2}{8} - \frac{5a^2}{8} = \frac{9a^2 - 5a^2}{8} $
Выполним вычитание подобных слагаемых в числителе:
$ 9a^2 - 5a^2 = (9-5)a^2 = 4a^2 $
В результате получим дробь:
$ \frac{4a^2}{8} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:
$ \frac{4a^2}{8} = \frac{a^2}{2} $
Ответ: $ \frac{a^2}{2} $.

б) Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем их числители, а знаменатель оставляем прежним.
$ \frac{2m}{5ab} - \frac{7}{5ab} = \frac{2m - 7}{5ab} $
Числитель $2m - 7$ и знаменатель $5ab$ не имеют общих множителей, поэтому полученная дробь является несократимой.
Ответ: $ \frac{2m - 7}{5ab} $.

в) Знаменатели дробей одинаковы ($25c$). Выполним вычитание числителей.
$ \frac{6b^3}{25c} - \frac{b^3}{25c} = \frac{6b^3 - b^3}{25c} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ 6b^3 - b^3 = (6-1)b^3 = 5b^3 $
Получаем дробь:
$ \frac{5b^3}{25c} $
Сократим дробь на 5:
$ \frac{5b^3}{25c} = \frac{b^3}{5c} $
Ответ: $ \frac{b^3}{5c} $.

г) Знаменатели дробей одинаковы ($ad$). Выполняем вычитание числителей.
$ \frac{b}{ad} - \frac{3c}{ad} = \frac{b - 3c}{ad} $
Так как у числителя и знаменателя нет общих множителей, дробь сокращению не подлежит.
Ответ: $ \frac{b - 3c}{ad} $.

д) Знаменатели дробей одинаковы ($9y$). Выполняем вычитание числителей.
$ \frac{x^2}{9y} - \frac{z^2}{9y} = \frac{x^2 - z^2}{9y} $
Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2 - z^2 = (x-z)(x+z)$. Однако это не приводит к сокращению дроби, так как в знаменателе нет таких множителей.
Ответ: $ \frac{x^2 - z^2}{9y} $.

е) Знаменатели дробей одинаковы ($2mn$). Выполняем вычитание числителей.
$ \frac{5k^4}{2mn} - \frac{7k^4}{2mn} = \frac{5k^4 - 7k^4}{2mn} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ 5k^4 - 7k^4 = (5-7)k^4 = -2k^4 $
Получаем дробь:
$ \frac{-2k^4}{2mn} $
Сократим дробь на общий множитель 2:
$ \frac{-2k^4}{2mn} = \frac{-k^4}{mn} $ или $ -\frac{k^4}{mn} $
Ответ: $ \frac{-k^4}{mn} $.