Номер 1.85, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.85. Решите уравнение с помощью метода замены переменной:

а) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0;$

б)* $(x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 2)=3.$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную.

Пусть $t = x^2$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение, чтобы получить квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 8t - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти $x$.

Значение $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней.

Рассмотрим значение $t_1 = 9$:

$x^2 = 9$

Из этого уравнения получаем два действительных корня:

$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 3$.

Заметим, что в обеих скобках присутствует выражение $x^2 + 2x$. Применим метод замены переменной.

Пусть $t = x^2 + 2x$.

После подстановки уравнение принимает вид:

$t(t - 2) = 3$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 2t = 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим полученное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) При $t = 3$:

$x^2 + 2x = 3$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -3$ и $x_1 + x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

2) При $t = -1$:

$x^2 + 2x = -1$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом: $(x+1)^2 = 0$.

Отсюда получаем один корень: $x_3 = -1$.

Объединив все найденные корни, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = -1, x_3 = 1$.