Номер 1.84, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.84. Вынесите множитель за знак корня в выражении:

a) $\sqrt{18a^2}$ при $a \le 0$;

б)* $\sqrt{-a^3b^4}$.

а) Для того чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\sqrt{18a^2}$ при условии $a \le 0$, разложим подкоренное выражение на множители, выделив из них полные квадраты:$$ \sqrt{18a^2} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot a^2} = \sqrt{3^2 \cdot a^2 \cdot 2} $$Теперь вынесем множители из-под знака корня. Применяя свойство корня из произведения и учитывая, что $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:$$ \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot |a| \cdot \sqrt{2} $$По условию задачи дано, что $a \le 0$. По определению модуля, если число неположительное, его модуль равен противоположному ему числу, то есть $|a| = -a$. Подставим это значение в наше выражение:$$ 3 \cdot (-a) \cdot \sqrt{2} = -3a\sqrt{2} $$Ответ: $-3a\sqrt{2}$.

б)* Для того чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\sqrt{-a^3b^4}$, сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$$ -a^3b^4 \ge 0 $$Поскольку $b^4$ всегда неотрицательно ($b^4 \ge 0$), то для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы $-a^3 \ge 0$. Умножив обе части на -1, получим $a^3 \le 0$, что означает $a \le 0$. Теперь разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы выделить полные квадраты:$$ \sqrt{-a^3b^4} = \sqrt{a^2 \cdot (-a) \cdot (b^2)^2} $$Так как мы установили, что $a \le 0$, то множитель $(-a)$ является неотрицательным, и корень из него извлекается. Вынесем множители из-под знака корня:$$ \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{(b^2)^2} \cdot \sqrt{-a} = |a| \cdot |b^2| \cdot \sqrt{-a} $$Поскольку $b^2 \ge 0$ для любого $b$, то $|b^2|=b^2$. Из ОДЗ мы знаем, что $a \le 0$, поэтому $|a|=-a$. Подставляем полученные значения модулей в выражение:$$ (-a) \cdot b^2 \cdot \sqrt{-a} = -ab^2\sqrt{-a} $$Ответ: $-ab^2\sqrt{-a}$.