Номер 1.77, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.77*. Докажите тождество $\frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{x^2+y^2}=2.$

Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна 2. Областью допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения является условие $x^2 + y^2 \neq 0$, что означает, что переменные $x$ и $y$ не могут быть равны нулю одновременно.

Преобразуем левую часть равенства, выполнив последовательные действия:

1. В числителе дроби раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Применяя эти формулы, получаем:

$\displaystyle \frac{(x+y)^2 + (x-y)^2}{x^2 + y^2} = \frac{(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2)}{x^2 + y^2}$

2. Упростим получившийся числитель, приведя подобные слагаемые:

$(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + x^2 + 2xy - 2xy + y^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2$

3. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\displaystyle \frac{2x^2 + 2y^2}{x^2 + y^2}$

4. Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

$\displaystyle \frac{2(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}$

5. Сократим дробь на общий множитель $(x^2 + y^2)$. Это действие является корректным, так как по ОДЗ $x^2 + y^2 \neq 0$.

$\displaystyle \frac{2\cancel{(x^2 + y^2)}}{\cancel{(x^2 + y^2)}} = 2$

В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна 2, что соответствует его правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: 2