Номер 1.76, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.76*. Постройте график функции:

a) $y = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$;

б) $y = \frac{4x^2 + 12x}{4x}$;

в) $y = \frac{x^2 - 2x + 1}{1 - x}$;

г) $y = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3}$.

Для построения графика каждой функции необходимо сначала найти ее область определения, затем упростить формулу, если это возможно, и после этого построить график получившейся функции с учетом ограничений из области определения.

а) Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.

1. Область определения функции (ОДЗ).
   Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.
2. Упрощение функции.
   Числитель $x^2 - 1$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
   Тогда функция примет вид: $y = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$.
   При $x \neq 1$ можно сократить дробь на $(x-1)$, получив линейную функцию: $y = x + 1$.
3. Построение графика.
   Графиком функции $y = x + 1$ является прямая линия. Для ее построения можно взять две любые точки, например, $(0, 1)$ и $(-2, -1)$. Однако, из-за ограничения ОДЗ ($x \neq 1$), на этой прямой нужно исключить точку, абсцисса которой равна 1. Найдем ординату этой точки, подставив $x=1$ в упрощенную функцию: $y = 1 + 1 = 2$.
   Следовательно, точка $(1, 2)$ не принадлежит графику и должна быть "выколота".

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 1$ с выколотой точкой $(1, 2)$.

б) Рассмотрим функцию $y = \frac{4x^2 + 12x}{4x}$.

1. Область определения функции (ОДЗ).
   Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $4x \neq 0$, откуда $x \neq 0$.
2. Упрощение функции.
   В числителе вынесем общий множитель $4x$ за скобки: $4x^2 + 12x = 4x(x + 3)$.
   Тогда функция примет вид: $y = \frac{4x(x+3)}{4x}$.
   При $x \neq 0$ можно сократить дробь на $4x$, получив линейную функцию: $y = x + 3$.
3. Построение графика.
   Графиком функции $y = x + 3$ является прямая линия. Для ее построения можно взять две точки, например, $(0, 3)$ и $(-3, 0)$. Из-за ограничения ОДЗ ($x \neq 0$), на этой прямой нужно исключить точку с абсциссой $x=0$. Найдем ординату этой точки: $y = 0 + 3 = 3$.
   Следовательно, точка $(0, 3)$ не принадлежит графику и должна быть "выколота".

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 3$ с выколотой точкой $(0, 3)$.

в) Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 2x + 1}{1 - x}$.

1. Область определения функции (ОДЗ).
   Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $1 - x \neq 0$, откуда $x \neq 1$.
2. Упрощение функции.
   Числитель является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
   Знаменатель можно представить как $1 - x = -(x - 1)$.
   Тогда функция примет вид: $y = \frac{(x-1)^2}{-(x-1)}$.
   При $x \neq 1$ можно сократить дробь на $(x-1)$, получив: $y = \frac{x-1}{-1} = -(x-1) = -x + 1$.
3. Построение графика.
   Графиком функции $y = -x + 1$ является прямая линия. Для ее построения можно взять две точки, например, $(0, 1)$ и $(1, 0)$. Из-за ограничения ОДЗ ($x \neq 1$), на этой прямой нужно исключить точку с абсциссой $x=1$. Найдем ординату этой точки: $y = -1 + 1 = 0$.
   Следовательно, точка $(1, 0)$ не принадлежит графику и должна быть "выколота".

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x + 1$ с выколотой точкой $(1, 0)$.

г) Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3}$.

1. Область определения функции (ОДЗ).
   Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$.
2. Упрощение функции.
   Разложим числитель на множители. Для квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6$ корнями являются $x_1=2$ и $x_2=3$ (по теореме Виета).
   Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.
   Тогда функция примет вид: $y = \frac{(x-2)(x-3)}{x-3}$.
   При $x \neq 3$ можно сократить дробь на $(x-3)$, получив: $y = x - 2$.
3. Построение графика.
   Графиком функции $y = x - 2$ является прямая линия. Для ее построения можно взять две точки, например, $(0, -2)$ и $(2, 0)$. Из-за ограничения ОДЗ ($x \neq 3$), на этой прямой нужно исключить точку с абсциссой $x=3$. Найдем ординату этой точки: $y = 3 - 2 = 1$.
   Следовательно, точка $(3, 1)$ не принадлежит графику и должна быть "выколота".

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(3, 1)$.