Номер 1.69, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.69. Замените выражение равным ему так, чтобы перед дробью не было знака «минус»:

а) $-\frac{x-2}{x+3}$;

б) $-\frac{a+6}{3-a}$;

в) $-\frac{-m-5}{m-3}$;

г) $-\frac{b-4}{4b}$.

Задача состоит в том, чтобы преобразовать данные выражения так, чтобы перед дробью не стоял знак "минус". Это достигается путем использования тождества $ - \frac{A}{B} = \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} $, то есть "внесением" минуса в числитель или знаменатель. После этого, если степень многочлена в числителе оказывается равной или большей степени многочлена в знаменателе (такая дробь называется неправильной), необходимо выделить "целую часть" путем деления числителя на знаменатель. "Целая часть" в данном контексте - это многочлен (в нашем случае - константа), который получается в результате деления.

а) Дано выражение $ - \frac{x-2}{x+3} $.

1. Уберем минус перед дробью, внеся его в числитель:$ - \frac{x-2}{x+3} = \frac{-(x-2)}{x+3} = \frac{-x+2}{x+3} = \frac{2-x}{x+3} $.

2. Полученная дробь является неправильной, так как степень числителя (1) равна степени знаменателя (1). Выделим целую часть. Для этого в числителе выделим выражение, равное знаменателю:$ \frac{2-x}{x+3} = \frac{-x-3+5}{x+3} = \frac{-(x+3)+5}{x+3} = \frac{-(x+3)}{x+3} + \frac{5}{x+3} = -1 + \frac{5}{x+3} $.

Ответ: $-1 + \frac{5}{x+3}$

б) Дано выражение $ - \frac{a+6}{3-a} $.

1. Внесем минус в знаменатель. Это позволит поменять знаки в знаменателе и получить более удобный вид $a-3$:$ - \frac{a+6}{3-a} = \frac{a+6}{-(3-a)} = \frac{a+6}{-3+a} = \frac{a+6}{a-3} $.

2. Дробь неправильная. Выделим целую часть:$ \frac{a+6}{a-3} = \frac{(a-3)+9}{a-3} = \frac{a-3}{a-3} + \frac{9}{a-3} = 1 + \frac{9}{a-3} $.

Ответ: $1 + \frac{9}{a-3}$

в) Дано выражение $ - \frac{-m-5}{m-3} $.

1. Внесем минус в числитель:$ - \frac{-m-5}{m-3} = \frac{-(-m-5)}{m-3} = \frac{m+5}{m-3} $.

2. Дробь неправильная. Выделим целую часть:$ \frac{m+5}{m-3} = \frac{(m-3)+8}{m-3} = \frac{m-3}{m-3} + \frac{8}{m-3} = 1 + \frac{8}{m-3} $.

Ответ: $1 + \frac{8}{m-3}$

г) Дано выражение $ - \frac{b-4}{4b} $.

1. Внесем минус в числитель:$ - \frac{b-4}{4b} = \frac{-(b-4)}{4b} = \frac{4-b}{4b} $.

2. Дробь неправильная. Выделим целую часть путем почленного деления:$ \frac{4-b}{4b} = \frac{4}{4b} - \frac{b}{4b} = \frac{1}{b} - \frac{1}{4} $.

Чтобы явно показать целую часть (константу), запишем ее на первом месте: $ -\frac{1}{4} + \frac{1}{b} $.

Ответ: $-\frac{1}{4} + \frac{1}{b}$