Номер 1.68, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.68. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите дробь:

а) $ \frac{5m+10n}{3m+6n} $;

б) $ \frac{8a-2b}{4a^2-ab} $;

в) $ \frac{2x^2-xy}{2xy-y^2} $;

г) $ \frac{b^2-25}{3b-15} $;

д) $ \frac{m^2-6m}{m^2-36} $;

е) $ \frac{a^2+8a+16}{3a+12} $;

ж) $ \frac{x^2-1}{x^2-2x+1} $;

з) $ \frac{9b^2+6b+1}{9b^2-1} $;

и) $ \frac{4a^2-9b^2}{4a^2-12ab+9b^2} $;

а) Исходная дробь: $\frac{5m+10n}{3m+6n}$

1. Разложим на множители числитель. Для этого вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5m+10n = 5(m+2n)$

2. Разложим на множители знаменатель. Для этого вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3m+6n = 3(m+2n)$

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $(m+2n)$:

$\frac{5(m+2n)}{3(m+2n)} = \frac{5}{3}$

4. Выделим целую часть из полученной неправильной дроби:

$\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

Ответ: $1\frac{2}{3}$

б) Исходная дробь: $\frac{8a-2b}{4a^2-ab}$

1. Разложим на множители числитель, вынеся общий множитель 2 за скобки:

$8a-2b = 2(4a-b)$

2. Разложим на множители знаменатель, вынеся общий множитель $a$ за скобки:

$4a^2-ab = a(4a-b)$

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $(4a-b)$:

$\frac{2(4a-b)}{a(4a-b)} = \frac{2}{a}$

Ответ: $\frac{2}{a}$

в) Исходная дробь: $\frac{2x^2-xy}{2xy-y^2}$

1. Разложим числитель на множители, вынеся за скобки общий множитель $x$:

$2x^2-xy = x(2x-y)$

2. Разложим знаменатель на множители, вынеся за скобки общий множитель $y$:

$2xy-y^2 = y(2x-y)$

3. Сократим дробь на общий множитель $(2x-y)$:

$\frac{x(2x-y)}{y(2x-y)} = \frac{x}{y}$

Ответ: $\frac{x}{y}$

г) Исходная дробь: $\frac{b^2-25}{3b-15}$

1. Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-c^2=(a-c)(a+c)$:

$b^2-25 = b^2-5^2 = (b-5)(b+5)$

2. Разложим знаменатель, вынеся за скобки общий множитель 3:

$3b-15 = 3(b-5)$

3. Сократим дробь на общий множитель $(b-5)$:

$\frac{(b-5)(b+5)}{3(b-5)} = \frac{b+5}{3}$

Ответ: $\frac{b+5}{3}$

д) Исходная дробь: $\frac{m^2-6m}{m^2-36}$

1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $m$:

$m^2-6m = m(m-6)$

2. В знаменателе применим формулу разности квадратов:

$m^2-36 = m^2-6^2 = (m-6)(m+6)$

3. Сократим дробь на общий множитель $(m-6)$:

$\frac{m(m-6)}{(m-6)(m+6)} = \frac{m}{m+6}$

Ответ: $\frac{m}{m+6}$

е) Исходная дробь: $\frac{a^2+8a+16}{3a+12}$

1. Числитель является полным квадратом суммы. Используем формулу $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$a^2+8a+16 = a^2+2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = (a+4)^2$

2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 3:

$3a+12 = 3(a+4)$

3. Сократим дробь на общий множитель $(a+4)$:

$\frac{(a+4)^2}{3(a+4)} = \frac{(a+4)(a+4)}{3(a+4)} = \frac{a+4}{3}$

Ответ: $\frac{a+4}{3}$

ж) Исходная дробь: $\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}$

1. Числитель разложим по формуле разности квадратов:

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

2. Знаменатель является полным квадратом разности. Используем формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$x^2-2x+1 = (x-1)^2$

3. Сократим дробь на общий множитель $(x-1)$:

$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-1)} = \frac{x+1}{x-1}$

Ответ: $\frac{x+1}{x-1}$

з) Исходная дробь: $\frac{9b^2+6b+1}{9b^2-1}$

1. Числитель представляет собой полный квадрат суммы:

$9b^2+6b+1 = (3b)^2 + 2 \cdot (3b) \cdot 1 + 1^2 = (3b+1)^2$

2. Знаменатель представляет собой разность квадратов:

$9b^2-1 = (3b)^2 - 1^2 = (3b-1)(3b+1)$

3. Сократим дробь на общий множитель $(3b+1)$:

$\frac{(3b+1)^2}{(3b-1)(3b+1)} = \frac{(3b+1)(3b+1)}{(3b-1)(3b+1)} = \frac{3b+1}{3b-1}$

Ответ: $\frac{3b+1}{3b-1}$

и) Исходная дробь: $\frac{4a^2-9b^2}{4a^2-12ab+9b^2}$

1. Числитель разложим по формуле разности квадратов:

$4a^2-9b^2 = (2a)^2-(3b)^2 = (2a-3b)(2a+3b)$

2. Знаменатель является полным квадратом разности:

$4a^2-12ab+9b^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)^2 = (2a-3b)^2$

3. Сократим дробь на общий множитель $(2a-3b)$:

$\frac{(2a-3b)(2a+3b)}{(2a-3b)^2} = \frac{(2a-3b)(2a+3b)}{(2a-3b)(2a-3b)} = \frac{2a+3b}{2a-3b}$

Ответ: $\frac{2a+3b}{2a-3b}$