Номер 1.70, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.70. Двумя способами замените выражение равным ему так, чтобы перед дробью стоял знак «минус»:

а) $\frac{m - n}{n - k}$;

б) $\frac{-a - b}{c - d}$;

в) $\frac{x - y}{x + z}$;

1.70. Двумя способами замените выражение равным ему так, чтобы перед дробью стоял знак «минус»

Основное правило: $\frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}$. Чтобы поставить знак «минус» перед дробью, нужно изменить на противоположный знак либо числителя, либо знаменателя.

• а) Для выражения $\frac{m-n}{n-k}$:

  Способ 1 (меняем знак числителя):
  $\frac{m-n}{n-k} = -\frac{-(m-n)}{n-k} = -\frac{n-m}{n-k}$

  Способ 2 (меняем знак знаменателя):
  $\frac{m-n}{n-k} = -\frac{m-n}{-(n-k)} = -\frac{m-n}{k-n}$

  Ответ: $-\frac{n-m}{n-k}$ и $-\frac{m-n}{k-n}$.

• б) Для выражения $\frac{-a-b}{c-d}$:

  Способ 1 (меняем знак числителя):
  $\frac{-a-b}{c-d} = -\frac{-(-a-b)}{c-d} = -\frac{a+b}{c-d}$

  Способ 2 (меняем знак знаменателя):
  $\frac{-a-b}{c-d} = -\frac{-a-b}{-(c-d)} = -\frac{-a-b}{d-c}$

  Ответ: $-\frac{a+b}{c-d}$ и $-\frac{-a-b}{d-c}$.

• в) Для выражения $\frac{x-y}{x+z}$:

  Способ 1 (меняем знак числителя):
  $\frac{x-y}{x+z} = -\frac{-(x-y)}{x+z} = -\frac{y-x}{x+z}$

  Способ 2 (меняем знак знаменателя):
  $\frac{x-y}{x+z} = -\frac{x-y}{-(x+z)} = -\frac{x-y}{-x-z}$

  Ответ: $-\frac{y-x}{x+z}$ и $-\frac{x-y}{-x-z}$.

1.71. Сократите дробь

• а) $\frac{a-b}{6(b-a)} = \frac{a-b}{-6(a-b)} = -\frac{1}{6}$

  Ответ: $-\frac{1}{6}$.

• б) $\frac{4m-4n}{5n-5m} = \frac{4(m-n)}{5(n-m)} = \frac{4(m-n)}{-5(m-n)} = -\frac{4}{5}$

  Ответ: $-\frac{4}{5}$.

• в) $\frac{x^2 - 3xy}{12y - 4x} = \frac{x(x-3y)}{4(3y-x)} = \frac{x(x-3y)}{-4(x-3y)} = -\frac{x}{4}$

  Ответ: $-\frac{x}{4}$.

• г) $\frac{a^3 - a^2}{a - a^2} = \frac{a^2(a-1)}{a(1-a)} = \frac{a^2(a-1)}{-a(a-1)} = \frac{a}{-1} = -a$

  Ответ: $-a$.

• д) $\frac{c^2 - 49}{14 - 2c} = \frac{(c-7)(c+7)}{2(7-c)} = \frac{(c-7)(c+7)}{-2(c-7)} = -\frac{c+7}{2}$

  Ответ: $-\frac{c+7}{2}$.

• е) $\frac{2b^2 - 8b}{16 - b^2} = \frac{2b(b-4)}{(4-b)(4+b)} = \frac{2b(b-4)}{-(b-4)(b+4)} = -\frac{2b}{b+4}$

  Выделим целую часть, так как степень числителя и знаменателя равны:
  $-\frac{2b}{b+4} = -\frac{2(b+4)-8}{b+4} = -\left(\frac{2(b+4)}{b+4} - \frac{8}{b+4}\right) = -\left(2 - \frac{8}{b+4}\right) = -2 + \frac{8}{b+4}$

  Ответ: $-2 + \frac{8}{b+4}$.

• ж) $\frac{10-5x}{x^2-4x+4} = \frac{5(2-x)}{(x-2)^2} = \frac{-5(x-2)}{(x-2)^2} = \frac{-5}{x-2}$ (или $\frac{5}{2-x}$)

  Ответ: $\frac{5}{2-x}$.

• з) $\frac{m^2 - 12m + 36}{36 - m^2} = \frac{(m-6)^2}{(6-m)(6+m)} = \frac{(m-6)^2}{-(m-6)(m+6)} = \frac{m-6}{-(m+6)} = \frac{6-m}{m+6}$

  Выделим целую часть:
  $\frac{6-m}{m+6} = \frac{-(m-6)}{m+6} = \frac{-(m+6-12)}{m+6} = -\left(1 - \frac{12}{m+6}\right) = -1 + \frac{12}{m+6}$

  Ответ: $-1 + \frac{12}{m+6}$.

• и) $\frac{3-3x^2}{x^2-2x+1} = \frac{3(1-x^2)}{(x-1)^2} = \frac{3(1-x)(1+x)}{(x-1)^2} = \frac{-3(x-1)(1+x)}{(x-1)^2} = \frac{-3(1+x)}{x-1} = \frac{3(1+x)}{1-x}$

  Выделим целую часть:
  $\frac{3+3x}{1-x} = \frac{3x+3}{-x+1}$. Разделив столбиком $3x+3$ на $-x+1$, получим частное $-3$ и остаток $6$.
  $\frac{3x+3}{-x+1} = -3 + \frac{6}{1-x}$

  Ответ: $-3 + \frac{6}{1-x}$.