Номер 1.63, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.63. Приведите дроби $\frac{4}{a+b}$; $\frac{a-8b}{b-a}$ к знаменателю $a^2 - b^2$.

Чтобы привести данные дроби к знаменателю $a^2 - b^2$, необходимо выполнить следующие шаги. Сначала разложим целевой знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю.

$\frac{4}{a+b}$

Знаменатель этой дроби, $(a+b)$, является одним из множителей целевого знаменателя. Следовательно, дополнительный множитель для этой дроби — $(a-b)$. Умножим числитель и знаменатель дроби на $(a-b)$:

$\frac{4}{a+b} = \frac{4 \cdot (a-b)}{(a+b) \cdot (a-b)} = \frac{4a - 4b}{a^2 - b^2}$

Ответ: $\frac{4a - 4b}{a^2 - b^2}$

$\frac{a-8b}{b-a}$

Сначала преобразуем знаменатель дроби, чтобы он содержал один из множителей целевого знаменателя. Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Вынесем знак минус из знаменателя:

$\frac{a-8b}{b-a} = \frac{a-8b}{-(a-b)} = -\frac{a-8b}{a-b}$

Теперь внесем знак "минус" в числитель, поменяв знаки его членов на противоположные:

$-\frac{a-8b}{a-b} = \frac{-(a-8b)}{a-b} = \frac{8b-a}{a-b}$

Теперь знаменатель дроби — $(a-b)$. Дополнительным множителем для нее является $(a+b)$. Умножим числитель и знаменатель на $(a+b)$ и раскроем скобки:

$\frac{(8b-a)(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{8b \cdot a + 8b \cdot b - a \cdot a - a \cdot b}{a^2 - b^2} = \frac{8ab + 8b^2 - a^2 - ab}{a^2 - b^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-a^2 + (8ab - ab) + 8b^2}{a^2 - b^2} = \frac{-a^2 + 7ab + 8b^2}{a^2 - b^2}$

Ответ: $\frac{-a^2 + 7ab + 8b^2}{a^2 - b^2}$