Номер 1.60, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.60*. Сократите дробь:

a) $\frac{b^4 + 4}{b^2 - 2b + 2}$;

б) $\frac{a^2 - a + 1}{a^4 + a^2 + 1}$.

а) Дана дробь $\frac{b^4 + 4}{b^2 - 2b + 2}$.

Для ее сокращения разложим числитель $b^4 + 4$ на множители. Для этого воспользуемся методом выделения полного квадрата, прибавив и отняв выражение $4b^2$:

$b^4 + 4 = (b^4 + 4b^2 + 4) - 4b^2$

Первые три слагаемых образуют полный квадрат $(b^2 + 2)^2$. Выражение принимает вид разности квадратов:

$(b^2 + 2)^2 - (2b)^2$

По формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ получаем:

$(b^2 + 2 - 2b)(b^2 + 2 + 2b) = (b^2 - 2b + 2)(b^2 + 2b + 2)$

Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(b^2 - 2b + 2)(b^2 + 2b + 2)}{b^2 - 2b + 2}$

Сокращаем общий множитель $(b^2 - 2b + 2)$ (он не равен нулю ни при каких действительных $b$, так как его дискриминант отрицателен):

$b^2 + 2b + 2$

Исходная дробь являлась неправильной, так как степень числителя (4) больше степени знаменателя (2). В результате сокращения мы получили ее целую часть.

Ответ: $b^2 + 2b + 2$

б) Дана дробь $\frac{a^2 - a + 1}{a^4 + a^2 + 1}$.

Для ее сокращения разложим на множители знаменатель $a^4 + a^2 + 1$. Используем метод выделения полного квадрата, прибавив и отняв $a^2$:

$a^4 + a^2 + 1 = (a^4 + 2a^2 + 1) - a^2$

Получаем разность квадратов:

$(a^2 + 1)^2 - a^2$

По формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ получаем:

$(a^2 + 1 - a)(a^2 + 1 + a) = (a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)$

Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:

$\frac{a^2 - a + 1}{(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)}$

Сокращаем общий множитель $(a^2 - a + 1)$ (он не равен нулю ни при каких действительных $a$, так как его дискриминант отрицателен):

$\frac{1}{a^2 + a + 1}$

Ответ: $\frac{1}{a^2 + a + 1}$