Номер 1.53, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.53*. Докажите тождество:

a) $\frac{(m-n)^2-(m+n)^2}{4mn} = -1;$

б) $\frac{x^2+xy}{x+y} = \frac{x^3-x}{x^2-1}.$

а) Для доказательства тождества $ \frac{(m-n)^2 - (m+n)^2}{4mn} = -1 $ преобразуем его левую часть.

Числитель дроби $ (m-n)^2 - (m+n)^2 $ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, где $ a = m-n $ и $ b = m+n $.

Упростим каждое из выражений в скобках в числителе:

• Первая скобка: $ (m-n) - (m+n) = m - n - m - n = -2n $
• Вторая скобка: $ (m-n) + (m+n) = m - n + m + n = 2m $

Подставим полученные выражения обратно в числитель дроби:

Сократим полученную дробь на $ 4mn $ (преобразование возможно при условии, что $ m \neq 0 $ и $ n \neq 0 $):

В результате преобразования левая часть равенства стала равна -1, что совпадает с его правой частью. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: -1

б) Для доказательства тождества $ \frac{x^2+xy}{x+y} = \frac{x^3-x}{x^2-1} $ преобразуем поочередно левую и правую части, чтобы свести их к одному и тому же выражению.

1. Преобразование левой части (ЛЧ):

В числителе дроби $ \frac{x^2+xy}{x+y} $ вынесем общий множитель $ x $ за скобки:

Сократим дробь на общий множитель $ (x+y) $. Это преобразование допустимо при условии, что $ x+y \neq 0 $.

2. Преобразование правой части (ПЧ):

Рассмотрим правую часть тождества $ \frac{x^3-x}{x^2-1} $. В числителе вынесем за скобки общий множитель $ x $:

Сократим дробь на общий множитель $ (x^2-1) $. Это преобразование допустимо при условии, что $ x^2-1 \neq 0 $, то есть $ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $.

3. Вывод:

Мы показали, что при области допустимых значений ($ x+y \neq 0 $, $ x \neq 1 $, $ x \neq -1 $) левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению ($ x $). Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.