Номер 1.47, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.47. Сократите дробь:

а) $\frac{m - n}{n - m}$;

б) $\frac{c - d}{3(d - c)}$;

в) $\frac{5x - 5y}{7y - 7x}$;

Г) $\frac{a^2 - 5ab}{20b - 4a}$;

Д) $\frac{3m - 9m^2}{12m^2 - 4m}$;

е) $\frac{b^5 - b^4}{b^5 - b^6}$;

Ж) $\frac{36 - x^2}{5x - 30}$;

З) $\frac{5a - a^2}{a^2 - 25}$;

И) $\frac{m^2 - 6m + 9}{6 - 2m}$;

К) $\frac{16 - y^2}{y^2 - 8y + 16}$;

Л) $\frac{x^2 - 2x + 1}{2 - 2x^2}$;

М) $\frac{25 - a^2}{2a^2 - 20a + 50}$.

а)Чтобы сократить дробь $ \frac{m-n}{n-m} $, вынесем в знаменателе -1 за скобки:
$ n-m = -(m-n) $
Тогда дробь примет вид:
$ \frac{m-n}{-(m-n)} = -1 $
Результат является целым числом, которое и есть его целая часть.
Ответ: $ \textbf{-1} $

б)Чтобы сократить дробь $ \frac{c-d}{3(d-c)} $, вынесем в знаменателе -1 из выражения в скобках:
$ 3(d-c) = 3(-(c-d)) = -3(c-d) $
Подставим в исходное выражение:
$ \frac{c-d}{-3(c-d)} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} $
Это правильная дробь, ее целая часть равна 0.
Ответ: $ -\frac{1}{3} $

в)В числителе вынесем за скобки 5, а в знаменателе 7:
$ \frac{5x-5y}{7y-7x} = \frac{5(x-y)}{7(y-x)} $
Вынесем -1 за скобки в знаменателе, чтобы получить одинаковые выражения:
$ \frac{5(x-y)}{-7(x-y)} = -\frac{5}{7} $
Это правильная дробь, ее целая часть равна 0.
Ответ: $ -\frac{5}{7} $

г)В числителе вынесем за скобки $a$, а в знаменателе $4$:
$ \frac{a^2-5ab}{20b-4a} = \frac{a(a-5b)}{4(5b-a)} $
Вынесем -1 за скобки в знаменателе:
$ \frac{a(a-5b)}{-4(a-5b)} = \frac{a}{-4} = -\frac{a}{4} $
Результат является многочленом (одночленом), который представляет собой целую часть.
Ответ: $ \textbf{$-\frac{a}{4}$} $

д)В числителе вынесем за скобки $3m$, а в знаменателе $4m$:
$ \frac{3m-9m^2}{12m^2-4m} = \frac{3m(1-3m)}{4m(3m-1)} $
Вынесем -1 за скобки в числителе:
$ \frac{-3m(3m-1)}{4m(3m-1)} = -\frac{3m}{4m} = -\frac{3}{4} $ (при $ m \neq 0 $ и $ m \neq 1/3 $)
Это правильная дробь, ее целая часть равна 0.
Ответ: $ -\frac{3}{4} $

е)В числителе вынесем за скобки $b^4$, а в знаменателе $b^5$:
$ \frac{b^5-b^4}{b^5-b^6} = \frac{b^4(b-1)}{b^5(1-b)} $
Вынесем -1 за скобки в знаменателе:
$ \frac{b^4(b-1)}{-b^5(b-1)} = -\frac{b^4}{b^5} = -\frac{1}{b} $ (при $ b \neq 0 $ и $ b \neq 1 $)
Это правильная дробь (степень числителя 0 меньше степени знаменателя 1).
Ответ: $ -\frac{1}{b} $

ж)Разложим числитель по формуле разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $. В знаменателе вынесем 5 за скобки.
$ \frac{36-x^2}{5x-30} = \frac{(6-x)(6+x)}{5(x-6)} $
Вынесем -1 за скобки в числителе:
$ \frac{-(x-6)(x+6)}{5(x-6)} = -\frac{x+6}{5} $
Результат является многочленом, который представляет собой целую часть.
Ответ: $ \textbf{$-\frac{x+6}{5}$} $

з)В числителе вынесем за скобки $a$. Знаменатель разложим по формуле разности квадратов.
$ \frac{5a-a^2}{a^2-25} = \frac{a(5-a)}{(a-5)(a+5)} = \frac{-a(a-5)}{(a-5)(a+5)} = -\frac{a}{a+5} $
Полученная дробь является неправильной (степени числителя и знаменателя равны). Выделим целую часть:
$ -\frac{a}{a+5} = -\frac{a+5-5}{a+5} = -(\frac{a+5}{a+5} - \frac{5}{a+5}) = -(1 - \frac{5}{a+5}) = -1 + \frac{5}{a+5} $
Целая часть равна -1.
Ответ: $ \textbf{-1} + \frac{5}{a+5} $

и)Числитель является полным квадратом разности $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $. В знаменателе вынесем 2 за скобки.
$ \frac{m^2-6m+9}{6-2m} = \frac{(m-3)^2}{2(3-m)} $
Вынесем -1 за скобки в знаменателе:
$ \frac{(m-3)^2}{-2(m-3)} = -\frac{m-3}{2} $
Результат является многочленом, который представляет собой целую часть. Его можно также записать как $ \frac{3-m}{2} $.
Ответ: $ \textbf{$-\frac{m-3}{2}$} $

к)Числитель разложим по формуле разности квадратов, а знаменатель свернем по формуле полного квадрата разности.
$ \frac{16-y^2}{y^2-8y+16} = \frac{(4-y)(4+y)}{(y-4)^2} $
Вынесем -1 за скобки в числителе:
$ \frac{-(y-4)(y+4)}{(y-4)^2} = -\frac{y+4}{y-4} $
Полученная дробь является неправильной. Выделим целую часть:
$ -\frac{y+4}{y-4} = -\frac{y-4+8}{y-4} = -(\frac{y-4}{y-4} + \frac{8}{y-4}) = -(1 + \frac{8}{y-4}) = -1 - \frac{8}{y-4} $
Целая часть равна -1.
Ответ: $ \textbf{-1} - \frac{8}{y-4} $

л)Числитель свернем по формуле полного квадрата разности. В знаменателе вынесем 2 за скобки, а затем разложим по формуле разности квадратов.
$ \frac{x^2-2x+1}{2-2x^2} = \frac{(x-1)^2}{2(1-x^2)} = \frac{(x-1)^2}{2(1-x)(1+x)} $
Так как $ (x-1)^2 = (-(1-x))^2 = (1-x)^2 $, то:
$ \frac{(1-x)^2}{2(1-x)(1+x)} = \frac{1-x}{2(1+x)} $
Полученная дробь является неправильной, так как степени числителя и знаменателя равны. Выделим целую часть. Преобразуем дробь: $ \frac{-x+1}{2x+2} $.
Выполним деление, представив числитель через знаменатель:
$ \frac{-x+1}{2x+2} = \frac{-\frac{1}{2}(2x) - \frac{1}{2}(2) + 1 + 1}{2x+2} = \frac{-\frac{1}{2}(2x+2) + 2}{2x+2} = -\frac{1}{2} + \frac{2}{2x+2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{x+1} $
Целая часть равна -1/2.
Ответ: $ \textbf{$-\frac{1}{2}$} + \frac{1}{x+1} $

м)Числитель разложим по формуле разности квадратов. В знаменателе вынесем 2 за скобки и свернем по формуле полного квадрата разности.
$ \frac{25-a^2}{2a^2-20a+50} = \frac{(5-a)(5+a)}{2(a^2-10a+25)} = \frac{-(a-5)(a+5)}{2(a-5)^2} = -\frac{a+5}{2(a-5)} $
Полученная дробь является неправильной. Выделим целую часть. Дробь имеет вид $ \frac{-a-5}{2a-10} $.
Выполним деление, представив числитель через знаменатель:
$ \frac{-a-5}{2a-10} = \frac{-\frac{1}{2}(2a) + 5 - 5 - 5}{2a-10} = \frac{-\frac{1}{2}(2a-10) - 10}{2a-10} = -\frac{1}{2} - \frac{10}{2a-10} = -\frac{1}{2} - \frac{5}{a-5} $
Целая часть равна -1/2.
Ответ: $ \textbf{$-\frac{1}{2}$} - \frac{5}{a-5} $