Номер 1.42, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.42. Составьте план решения и найдите значение выражения:

а) $\frac{a^3 + a^2}{a^2}$ при $a=8,9$;

б) $\frac{3x^2}{x^4 - x^2}$ при $x=2\sqrt{3}$;

в) $\frac{b^5 - b^3}{b^2 - 1}$ при $b=0,25$;

г) $\frac{y^3 - y^2}{y^2 + y^3}$ при $y=\frac{1}{12}$.

а) План решения:

1. Упростить исходное алгебраическое выражение. Для этого в числителе вынесем общий множитель $a^2$ за скобки.
2. Сократить полученную дробь на общий множитель $a^2$.
3. Подставить заданное значение $a = 8,9$ в упрощенное выражение.
4. Вычислить итоговое значение.

Решение:

1. Упростим выражение, вынеся в числителе общий множитель $a^2$:

$\frac{a^3 + a^2}{a^2} = \frac{a^2(a + 1)}{a^2}$

2. Сократим дробь, так как по условию $a = 8,9 \neq 0$:

$\frac{a^2(a + 1)}{a^2} = a + 1$

3. Подставим значение $a = 8,9$ в упрощенное выражение:

$a + 1 = 8,9 + 1 = 9,9$

Ответ: 9,9

б) План решения:

1. Упростить исходное выражение. В знаменателе вынесем общий множитель $x^2$ за скобки.
2. Сократить полученную дробь на $x^2$.
3. Подставить заданное значение $x = 2\sqrt{3}$ в упрощенное выражение. Предварительно вычислим значение $x^2$.
4. Вычислить конечное значение.

Решение:

1. Упростим выражение, вынеся в знаменателе $x^2$ за скобки:

$\frac{3x^2}{x^4 - x^2} = \frac{3x^2}{x^2(x^2 - 1)}$

2. Сократим дробь, так как $x = 2\sqrt{3} \neq 0$:

$\frac{3x^2}{x^2(x^2 - 1)} = \frac{3}{x^2 - 1}$

3. Найдем значение $x^2$ при $x = 2\sqrt{3}$:

$x^2 = (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

4. Подставим полученное значение $x^2=12$ в упрощенную дробь:

$\frac{3}{12 - 1} = \frac{3}{11}$

Ответ: $\frac{3}{11}$

в) План решения:

1. Упростить исходное выражение. В числителе вынесем общий множитель $b^3$ за скобки.
2. Сократить полученную дробь на выражение $(b^2-1)$.
3. Подставить заданное значение $b=0,25$ в упрощенное выражение. Для удобства вычислений представим $0,25$ в виде обыкновенной дроби.
4. Вычислить итоговое значение.

Решение:

1. Упростим выражение, вынеся в числителе $b^3$ за скобки:

$\frac{b^5 - b^3}{b^2 - 1} = \frac{b^3(b^2 - 1)}{b^2 - 1}$

2. Сократим дробь, так как при $b = 0,25$ знаменатель $b^2 - 1 \neq 0$:

$\frac{b^3(b^2 - 1)}{b^2 - 1} = b^3$

3. Подставим значение $b = 0,25$. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,25 = \frac{1}{4}$:

$b^3 = (\frac{1}{4})^3$

4. Вычислим результат:

$(\frac{1}{4})^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1}{64}$

Ответ: $\frac{1}{64}$

г) План решения:

1. Упростить исходное выражение. Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
2. Сократить полученную дробь на общий множитель $y^2$.
3. Подставить заданное значение $y = \frac{1}{12}$ в упрощенное выражение.
4. Выполнить вычисления с дробями и найти конечный результат.

Решение:

1. Упростим выражение, вынеся в числителе и знаменателе общий множитель $y^2$:

$\frac{y^3 - y^2}{y^2 + y^3} = \frac{y^2(y - 1)}{y^2(1 + y)}$

2. Сократим дробь, так как $y = \frac{1}{12} \neq 0$:

$\frac{y^2(y - 1)}{y^2(1 + y)} = \frac{y - 1}{y + 1}$

3. Подставим значение $y = \frac{1}{12}$:

$\frac{\frac{1}{12} - 1}{\frac{1}{12} + 1} = \frac{\frac{1}{12} - \frac{12}{12}}{\frac{1}{12} + \frac{12}{12}} = \frac{-\frac{11}{12}}{\frac{13}{12}}$

4. Выполним деление дробей, умножив числитель на дробь, обратную знаменателю:

$\frac{-\frac{11}{12}}{\frac{13}{12}} = -\frac{11}{12} \cdot \frac{12}{13} = -\frac{11}{13}$

Ответ: $-\frac{11}{13}$