Номер 1.35, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.35. Верно ли, что одночлен $5a^2b^2$ является общим множителем числителя и знаменателя дроби:

а) $\frac{10a^2b^2c}{15a^2b^2d}$;

б) $\frac{25a^3b^2}{15a^2b^3}$;

в) $\frac{5a^4b}{35a^2b^5}$;

г) $\frac{20a^2b^4d^3}{5a^5b^2}$?

Чтобы определить, является ли одночлен $5a^2b^2$ общим множителем числителя и знаменателя дроби, необходимо проверить, делятся ли числитель и знаменатель на этот одночлен без остатка. Деление одночлена на одночлен без остатка возможно, если степень каждой переменной в делимом не меньше степени этой же переменной в делителе, а коэффициент делимого делится нацело на коэффициент делителя.

а) Рассмотрим дробь $\frac{10a^2b^2c}{15a^2b^2d}$.

• Числитель $10a^2b^2c$: Коэффициент 10 делится на 5. Степени переменных $a$ (2) и $b$ (2) равны соответствующим степеням в одночлене $5a^2b^2$. Следовательно, числитель делится на $5a^2b^2$ без остатка.
  $\frac{10a^2b^2c}{5a^2b^2} = 2c$
• Знаменатель $15a^2b^2d$: Коэффициент 15 делится на 5. Степени переменных $a$ (2) и $b$ (2) также равны соответствующим степеням в $5a^2b^2$. Следовательно, знаменатель делится на $5a^2b^2$ без остатка.
  $\frac{15a^2b^2d}{5a^2b^2} = 3d$

Так как и числитель, и знаменатель делятся на $5a^2b^2$, этот одночлен является их общим множителем. Ответ: Да.

б) Рассмотрим дробь $\frac{25a^3b^2}{15a^2b^3}$.

• Числитель $25a^3b^2$: Коэффициент 25 делится на 5. Степень переменной $a$ в числителе (3) больше, чем в делителе (2), а степень $b$ (2) равна степени в делителе (2). Числитель делится без остатка.
  $\frac{25a^3b^2}{5a^2b^2} = 5a$
• Знаменатель $15a^2b^3$: Коэффициент 15 делится на 5. Степень переменной $a$ в знаменателе (2) равна степени в делителе (2), а степень $b$ (3) больше, чем в делителе (2). Знаменатель делится без остатка.
  $\frac{15a^2b^3}{5a^2b^2} = 3b$

Так как и числитель, и знаменатель делятся на $5a^2b^2$, он является их общим множителем. Ответ: Да.

в) Рассмотрим дробь $\frac{5a^4b}{35a^2b^5}$.

• Числитель $5a^4b$: Степень переменной $b$ в числителе (1) меньше, чем степень $b$ в одночлене $5a^2b^2$ (2). Поэтому числитель не делится на $5a^2b^2$ без остатка.
  $\frac{5a^4b}{5a^2b^2} = \frac{a^2}{b}$

Поскольку числитель не делится на $5a^2b^2$ без остатка, этот одночлен не может быть общим множителем. Ответ: Нет.

г) Рассмотрим дробь $\frac{20a^2b^4d^3}{5a^5b^2}$.

• Числитель $20a^2b^4d^3$: Коэффициент 20 делится на 5. Степень $a$ (2) равна степени в делителе, а степень $b$ (4) больше. Числитель делится без остатка.
  $\frac{20a^2b^4d^3}{5a^2b^2} = 4b^2d^3$
• Знаменатель $5a^5b^2$: Коэффициент 5 делится на 5. Степень $a$ (5) больше степени в делителе, а степень $b$ (2) равна. Знаменатель делится без остатка.
  $\frac{5a^5b^2}{5a^2b^2} = a^3$

Так как и числитель, и знаменатель делятся на $5a^2b^2$, он является их общим множителем. Ответ: Да.