Номер 1.34, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.34. Приведите к знаменателю:

а) $6a^6$ дробь $\frac{5}{a}$; $\frac{b}{2a^2}$; $\frac{a-b}{6a^5}$;

б) $(x-4)^3$ дробь $\frac{3}{x-4}$; $\frac{x-1}{4-x}$; $\frac{5}{x^2-8x+16}$;

в) $3m^2-3n^2$ дробь $\frac{m}{m+n}$; $\frac{7}{3m+3n}$; $\frac{m-2n}{n-m}$.

a) Приведем дроби $\frac{5}{a}$, $\frac{b}{2a^2}$ и $\frac{a-b}{6a^5}$ к знаменателю $6a^6$.

1. Для дроби $\frac{5}{a}$ находим дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный: $6a^6 \div a = 6a^5$.
Умножаем числитель и знаменатель на этот множитель:
$\frac{5}{a} = \frac{5 \cdot 6a^5}{a \cdot 6a^5} = \frac{30a^5}{6a^6}$.

2. Для дроби $\frac{b}{2a^2}$ дополнительный множитель: $6a^6 \div (2a^2) = 3a^4$.
$\frac{b}{2a^2} = \frac{b \cdot 3a^4}{2a^2 \cdot 3a^4} = \frac{3a^4b}{6a^6}$.

3. Для дроби $\frac{a-b}{6a^5}$ дополнительный множитель: $6a^6 \div (6a^5) = a$.
$\frac{a-b}{6a^5} = \frac{(a-b) \cdot a}{6a^5 \cdot a} = \frac{a^2-ab}{6a^6}$.

Ответ: $\frac{30a^5}{6a^6}; \frac{3a^4b}{6a^6}; \frac{a^2-ab}{6a^6}$.

б) Приведем дроби $\frac{3}{x-4}$, $\frac{x-1}{4-x}$ и $\frac{5}{x^2-8x+16}$ к знаменателю $(x-4)^3$.

Сначала преобразуем знаменатели данных дробей, чтобы выразить их через $(x-4)$.
Вторая дробь: $\frac{x-1}{4-x} = \frac{x-1}{-(x-4)} = -\frac{x-1}{x-4} = \frac{1-x}{x-4}$.
Третья дробь: знаменатель $x^2-8x+16$ является полным квадратом $(x-4)^2$. Таким образом, дробь равна $\frac{5}{(x-4)^2}$.

Теперь приводим дроби к знаменателю $(x-4)^3$.

1. Для дроби $\frac{3}{x-4}$ дополнительный множитель: $(x-4)^3 \div (x-4) = (x-4)^2$.
$\frac{3}{x-4} = \frac{3 \cdot (x-4)^2}{(x-4) \cdot (x-4)^2} = \frac{3(x^2-8x+16)}{(x-4)^3} = \frac{3x^2-24x+48}{(x-4)^3}$.

2. Для дроби $\frac{1-x}{x-4}$ дополнительный множитель также равен $(x-4)^2$.
$\frac{1-x}{x-4} = \frac{(1-x)(x-4)^2}{(x-4)(x-4)^2} = \frac{(1-x)(x^2-8x+16)}{(x-4)^3} = \frac{x^2-8x+16-x^3+8x^2-16x}{(x-4)^3} = \frac{-x^3+9x^2-24x+16}{(x-4)^3}$.

3. Для дроби $\frac{5}{(x-4)^2}$ дополнительный множитель: $(x-4)^3 \div (x-4)^2 = x-4$.
$\frac{5}{(x-4)^2} = \frac{5 \cdot (x-4)}{(x-4)^2 \cdot (x-4)} = \frac{5x-20}{(x-4)^3}$.

Ответ: $\frac{3x^2-24x+48}{(x-4)^3}; \frac{-x^3+9x^2-24x+16}{(x-4)^3}; \frac{5x-20}{(x-4)^3}$.

в) Приведем дроби $\frac{m}{m+n}$, $\frac{7}{3m+3n}$ и $\frac{m-2n}{n-m}$ к знаменателю $3m^2-3n^2$.

Разложим на множители новый знаменатель: $3m^2-3n^2 = 3(m^2-n^2) = 3(m-n)(m+n)$.
Также преобразуем знаменатели исходных дробей:
Вторая дробь: $\frac{7}{3m+3n} = \frac{7}{3(m+n)}$.
Третья дробь: $\frac{m-2n}{n-m} = \frac{m-2n}{-(m-n)} = \frac{-(m-2n)}{m-n} = \frac{2n-m}{m-n}$.

Теперь приводим дроби к знаменателю $3(m-n)(m+n)$.

1. Для дроби $\frac{m}{m+n}$ дополнительный множитель: $3(m-n)(m+n) \div (m+n) = 3(m-n)$.
$\frac{m}{m+n} = \frac{m \cdot 3(m-n)}{(m+n) \cdot 3(m-n)} = \frac{3m^2-3mn}{3(m-n)(m+n)} = \frac{3m^2-3mn}{3m^2-3n^2}$.

2. Для дроби $\frac{7}{3(m+n)}$ дополнительный множитель: $3(m-n)(m+n) \div 3(m+n) = m-n$.
$\frac{7}{3(m+n)} = \frac{7 \cdot (m-n)}{3(m+n) \cdot (m-n)} = \frac{7m-7n}{3(m-n)(m+n)} = \frac{7m-7n}{3m^2-3n^2}$.

3. Для дроби $\frac{2n-m}{m-n}$ дополнительный множитель: $3(m-n)(m+n) \div (m-n) = 3(m+n)$.
$\frac{2n-m}{m-n} = \frac{(2n-m) \cdot 3(m+n)}{(m-n) \cdot 3(m+n)} = \frac{3(2mn+2n^2-m^2-mn)}{3(m-n)(m+n)} = \frac{3(-m^2+mn+2n^2)}{3m^2-3n^2} = \frac{-3m^2+3mn+6n^2}{3m^2-3n^2}$.

Ответ: $\frac{3m^2-3mn}{3m^2-3n^2}; \frac{7m-7n}{3m^2-3n^2}; \frac{-3m^2+3mn+6n^2}{3m^2-3n^2}$.