Номер 1.40, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.40. Сократите рациональную дробь, используя алгоритм:

а) $\frac{4(x - y)}{8x}$;

б) $\frac{15m}{3(m + n)}$;

в) $\frac{8(a + b)}{3(a + b)}$;

г) $\frac{3a^2(x - 1)}{5a(x - 1)}$;

д) $\frac{5(c - 3)}{(c - 3)^2}$;

е) $\frac{7a(b + 4)^3}{(b + 4)^5}$.

а) Чтобы сократить рациональную дробь $\frac{4(x-y)}{8x}$, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе.
Числитель: $4(x-y)$.
Знаменатель: $8x$. Разложим коэффициент 8 на множители: $8x = 4 \cdot 2x$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{4(x-y)}{4 \cdot 2x}$.
Общий множитель в числителе и знаменателе - это 4. Сокращаем дробь на 4:
$\frac{\cancel{4}(x-y)}{\cancel{4} \cdot 2x} = \frac{x-y}{2x}$.
Ответ: $\frac{x-y}{2x}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{15m}{3(m+n)}$.
Разложим на множители числитель: $15m = 3 \cdot 5m$.
Знаменатель уже представлен в виде произведения: $3(m+n)$.
Дробь можно переписать как $\frac{3 \cdot 5m}{3(m+n)}$.
Общий множитель - это 3. Сокращаем на него:
$\frac{\cancel{3} \cdot 5m}{\cancel{3}(m+n)} = \frac{5m}{m+n}$.
Ответ: $\frac{5m}{m+n}$

в) Рассмотрим дробь $\frac{8(a+b)}{3(a+b)}$.
В числителе и знаменателе есть общий множитель $(a+b)$. Сократим дробь на это выражение (при условии, что $a+b \neq 0$):
$\frac{8\cancel{(a+b)}}{3\cancel{(a+b)}} = \frac{8}{3}$.
Полученная дробь является неправильной. Выделим из нее целую часть:
$\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$.
Ответ: 2$\frac{2}{3}$

г) Рассмотрим дробь $\frac{3a^2(x-1)}{5a(x-1)}$.
Общие множители в числителе и знаменателе - это $a$ и $(x-1)$. Сократим дробь на $a(x-1)$ (при условии, что $a \neq 0$ и $x \neq 1$):
$\frac{3a^2(x-1)}{5a(x-1)} = \frac{3 \cdot a \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{(x-1)}}{5 \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{(x-1)}} = \frac{3a}{5}$.
Ответ: $\frac{3a}{5}$

д) Рассмотрим дробь $\frac{5(c-3)}{(c-3)^2}$.
Знаменатель можно представить как произведение: $(c-3)^2 = (c-3)(c-3)$.
Дробь имеет вид: $\frac{5(c-3)}{(c-3)(c-3)}$.
Общий множитель в числителе и знаменателе - это $(c-3)$. Сократим на него (при условии, что $c \neq 3$):
$\frac{5\cancel{(c-3)}}{\cancel{(c-3)}(c-3)} = \frac{5}{c-3}$.
Ответ: $\frac{5}{c-3}$

е) Рассмотрим дробь $\frac{7a(b+4)^3}{(b+4)^5}$.
Используем свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = \frac{1}{x^{n-m}}$ для $n > m$.
В данном случае $x = (b+4)$, $m = 3$, $n = 5$. Общий множитель - это $(b+4)^3$. Сокращаем дробь на него (при условии, что $b \neq -4$):
$\frac{7a\cancel{(b+4)^3}}{(b+4)^{\cancel{5}2}} = \frac{7a}{(b+4)^2}$.
Ответ: $\frac{7a}{(b+4)^2}$