Номер 1.46, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.46. Из данных дробей выберите дробь, тождественно равную дроби $ \frac{(2a-5b)^3}{a-7b} $:

а) $ \frac{(5b-2a)^3}{a-7b} $;

б) $ -\frac{(5b-2a)^3}{7b-a} $;

в) $ \frac{(5b-2a)^3}{7b-a} $;

г) $ -\frac{(2a-5b)^3}{a-7b} $.

Для того чтобы определить, какая из предложенных дробей тождественно равна исходной дроби $\frac{(2a-5b)^3}{a-7b}$, мы последовательно преобразуем каждую из них, используя основные алгебраические тождества.

Основные свойства, которые мы будем применять:

• Вынесение знака минус из выражения: $(x-y) = -(y-x)$.
• Свойство нечетной степени: $(-A)^n = -A^n$, если $n$ - нечетное число. В нашем случае степень равна 3, что является нечетным числом.

Проанализируем каждый вариант:

а) $\frac{(5b-2a)^3}{a-7b}$
Преобразуем числитель: $(5b-2a)^3 = (-(2a-5b))^3 = - (2a-5b)^3$.
Вся дробь становится равной $\frac{-(2a-5b)^3}{a-7b} = -\frac{(2a-5b)^3}{a-7b}$.
Ответ: это выражение не равно исходному.

б) $-\frac{(5b-2a)^3}{7b-a}$
Преобразуем числитель: $(5b-2a)^3 = -(2a-5b)^3$.
Преобразуем знаменатель: $7b-a = -(a-7b)$.
Подставим преобразования в дробь: $-\frac{-(2a-5b)^3}{-(a-7b)} = - \frac{(2a-5b)^3}{a-7b}$.
Ответ: это выражение не равно исходному.

в) $\frac{(5b-2a)^3}{7b-a}$
Преобразуем числитель: $(5b-2a)^3 = -(2a-5b)^3$.
Преобразуем знаменатель: $7b-a = -(a-7b)$.
Подставим преобразования в дробь: $\frac{-(2a-5b)^3}{-(a-7b)}$.
Так как в числителе и знаменателе есть множитель $-1$, они сокращаются: $\frac{-1 \cdot (2a-5b)^3}{-1 \cdot (a-7b)} = \frac{(2a-5b)^3}{a-7b}$.
Ответ: это выражение тождественно равно исходному.

г) $-\frac{(2a-5b)^3}{a-7b}$
Это выражение имеет противоположный знак по сравнению с исходным.
Ответ: это выражение не равно исходному.

Таким образом, единственная дробь, которая тождественно равна исходной, это дробь в).