Номер 1.48, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.48. Используйте сокращение дроби для рационального вычисления значения выражения:

а) $\frac{x^2 - 9}{3 - x}$ при $x = 5,65$;

б) $\frac{3a^2 - 15ab}{25b^2 - a^2}$ при $a = 15, b = 31$;

в) $\frac{m^2 - 9m}{81m - m^3}$ при $m = 21$.

а) Для рационального вычисления сначала упростим выражение. Числитель $x^2 - 9$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
В знаменателе вынесем минус за скобки: $3-x = -(x-3)$.
Тогда дробь принимает вид: $$ \frac{x^2 - 9}{3 - x} = \frac{(x-3)(x+3)}{-(x-3)} $$ При условии, что $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x-3)$: $$ \frac{(x-3)(x+3)}{-(x-3)} = -(x+3) = -x - 3 $$ Теперь подставим значение $x = 5,65$ в упрощенное выражение: $$ -(5,65 + 3) = -8,65 $$ Представим десятичную дробь в виде смешанного числа. Целая часть равна -8, а дробная часть $0,65 = \frac{65}{100} = \frac{13}{20}$. Таким образом, $-8,65 = -8\frac{13}{20}$. Исходная неправильная дробь: $-\frac{173}{20}$.
Ответ: $-8\frac{13}{20}$

б) Упростим данное выражение. Сначала разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $3a$: $3a^2 - 15ab = 3a(a - 5b)$.
Знаменатель является разностью квадратов $25b^2 - a^2 = (5b)^2 - a^2$, которую разложим на множители: $(5b - a)(5b + a)$.
Теперь запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем: $$ \frac{3a(a - 5b)}{(5b - a)(5b + a)} $$ Заметим, что множители в числителе и знаменателе отличаются знаком: $a - 5b = -(5b - a)$. Подставим это в числитель: $$ \frac{-3a(5b - a)}{(5b - a)(5b + a)} $$ При условии, что $a \neq 5b$, можно сократить дробь на $(5b - a)$: $$ \frac{-3a}{5b + a} $$ Подставим значения $a = 15$ и $b = 31$: $$ \frac{-3 \cdot 15}{5 \cdot 31 + 15} = \frac{-45}{155 + 15} = \frac{-45}{170} $$ Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5: $$ \frac{-45 \div 5}{170 \div 5} = -\frac{9}{34} $$ Ответ: $-\frac{9}{34}$

в) Упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $m$: $m^2 - 9m = m(m-9)$.
В знаменателе также вынесем $m$ за скобки и затем применим формулу разности квадратов: $81m - m^3 = m(81 - m^2) = m(9-m)(9+m)$.
Получаем дробь: $$ \frac{m(m-9)}{m(9-m)(9+m)} $$ При $m \neq 0$ можно сократить дробь на $m$. Также, как и в предыдущем примере, $m-9 = -(9-m)$. $$ \frac{-(9-m)}{(9-m)(9+m)} $$ При $m \neq 9$ сокращаем на $(9-m)$: $$ \frac{-1}{9+m} $$ Теперь подставим значение $m = 21$: $$ \frac{-1}{9+21} = -\frac{1}{30} $$ Ответ: $-\frac{1}{30}$