Номер 1.55, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.55*. Докажите, что значение дроби $ \frac{(x-y)^2 - (x-3y)^2}{2xy - 4y^2} $ не зависит от значений переменных.

Чтобы доказать, что значение дроби не зависит от значений переменных, необходимо упростить данное выражение. Мы сделаем это, преобразовав числитель и знаменатель по отдельности.

Исходная дробь:

$$ \frac{(x-y)^2 - (x-3y)^2}{2xy - 4y^2} $$

1. Упрощение числителя

Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В данном случае $a = x-y$ и $b = x-3y$.

$$ (x-y)^2 - (x-3y)^2 = ((x-y) - (x-3y)) \cdot ((x-y) + (x-3y)) $$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые в каждой из групп:

$$ (x-y - x+3y) \cdot (x-y + x-3y) = (2y) \cdot (2x-4y) $$

Теперь вынесем общий множитель 2 из второй скобки:

$$ (2y) \cdot 2(x-2y) = 4y(x-2y) $$

2. Упрощение знаменателя

В знаменателе $2xy - 4y^2$ вынесем общий множитель $2y$ за скобки:

$$ 2xy - 4y^2 = 2y(x - 2y) $$

3. Упрощение дроби

Теперь подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя обратно в дробь:

$$ \frac{4y(x-2y)}{2y(x-2y)} $$

При условии, что знаменатель не равен нулю (то есть $y \neq 0$ и $x \neq 2y$), мы можем сократить общие множители $y$ и $(x-2y)$:

$$ \frac{4\cancel{y}(\cancel{x-2y})}{2\cancel{y}(\cancel{x-2y})} = \frac{4}{2} = 2 $$

В результате упрощения получилось число 2. Это значение является константой и не зависит от значений переменных $x$ и $y$, что и требовалось доказать.

Ответ: 2