Номер 1.57, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.57*. Упростите выражение $\frac{(4x+5)^2 + 2(16x^2 - 25) + (4x-5)^2}{(4x+5)^2 - 2(16x^2 - 25) + (4x-5)^2}$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения. Рассмотрим числитель и знаменатель дроби отдельно.

Заметим, что выражение $16x^2 - 25$ можно представить в виде разности квадратов:

$16x^2 - 25 = (4x)^2 - 5^2 = (4x - 5)(4x + 5)$.

Чтобы сделать выражение более наглядным, введем замены:

Пусть $a = 4x + 5$ и $b = 4x - 5$.

Тогда $ab = (4x + 5)(4x - 5) = 16x^2 - 25$.

Теперь перепишем числитель и знаменатель исходной дроби с использованием этих замен.

Числитель:

$(4x+5)^2 + 2(16x^2 - 25) + (4x-5)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Это выражение является полным квадратом суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Знаменатель:

$(4x+5)^2 - 2(16x^2 - 25) + (4x-5)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Это выражение является полным квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде:

$$ \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2 $$

Теперь найдем значения для $a+b$ и $a-b$, подставив обратно исходные выражения:

$a+b = (4x+5) + (4x-5) = 4x+5+4x-5 = 8x$.

$a-b = (4x+5) - (4x-5) = 4x+5-4x+5 = 10$.

Подставим эти результаты в упрощенную дробь и выполним вычисления:

$$ \left(\frac{8x}{10}\right)^2 = \left(\frac{4x}{5}\right)^2 = \frac{(4x)^2}{5^2} = \frac{16x^2}{25} $$

Ответ: $\frac{16x^2}{25}$.