Номер 1.56, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.56* Сократите рациональную дробь $\frac{x^2-(\sqrt{7}+\sqrt{11})x+\sqrt{77}}{x^2+(\sqrt{3}-\sqrt{7})x-\sqrt{21}}$.

Чтобы сократить данную рациональную дробь, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители. Оба они представляют собой квадратные трехчлены вида $ax^2 + bx + c$, которые можно разложить на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения.

1. Разложение числителя на множители

Рассмотрим числитель: $x^2 - (\sqrt{7} + \sqrt{11})x + \sqrt{77}$.

Для нахождения множителей решим квадратное уравнение $x^2 - (\sqrt{7} + \sqrt{11})x + \sqrt{77} = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае коэффициенты равны:

• $p = -(\sqrt{7} + \sqrt{11})$
• $q = \sqrt{77}$

Следовательно, для корней $x_1$ и $x_2$ должны выполняться условия:

• $x_1 + x_2 = -(-(\sqrt{7} + \sqrt{11})) = \sqrt{7} + \sqrt{11}$
• $x_1 \cdot x_2 = \sqrt{77} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{11}$

Очевидно, что корнями уравнения являются $x_1 = \sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{11}$.

Таким образом, разложение числителя на множители выглядит так:

$$x^2 - (\sqrt{7} + \sqrt{11})x + \sqrt{77} = (x - \sqrt{7})(x - \sqrt{11})$$

2. Разложение знаменателя на множители

Рассмотрим знаменатель: $x^2 + (\sqrt{3} - \sqrt{7})x - \sqrt{21}$.

Решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + (\sqrt{3} - \sqrt{7})x - \sqrt{21} = 0$, снова применив теорему Виета.

Здесь коэффициенты равны:

• $p = \sqrt{3} - \sqrt{7}$
• $q = -\sqrt{21}$

Условия для корней $x_1$ и $x_2$:

• $x_1 + x_2 = -(\sqrt{3} - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - \sqrt{3}$
• $x_1 \cdot x_2 = -\sqrt{21} = \sqrt{7} \cdot (-\sqrt{3})$

Подбираем корни: $x_1 = \sqrt{7}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.

Следовательно, разложение знаменателя на множители имеет вид:

$$x^2 + (\sqrt{3} - \sqrt{7})x - \sqrt{21} = (x - \sqrt{7})(x - (-\sqrt{3})) = (x - \sqrt{7})(x + \sqrt{3})$$

3. Сокращение дроби

Подставим полученные разложения в исходную дробь:

Сокращаем общий множитель $(x - \sqrt{7})$, при условии, что $x - \sqrt{7} \neq 0$, то есть $x \neq \sqrt{7}$.

В результате получаем:

Ответ: $ \frac{x - \sqrt{11}}{x + \sqrt{3}} $