Номер 1.62, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.62. Используя основное свойство дроби, приведите дробь:

а) $\frac{3}{a}$ к знаменателю $4a$; $a^2$; $-a$; $ab$;

б) $\frac{x+y}{x}$ к знаменателю $-5x$; $x^2$; $-x$; $xy$;

в) $\frac{b+3}{b-3}$ к знаменателю $2b-6$; $b^2-3b$; $3-b$; $(b-3)^2$; $b^2-9$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся основным свойством дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же ненулевое выражение (дополнительный множитель), то значение дроби не изменится. Дополнительный множитель находится путем деления нового знаменателя на старый.

а) Приводим дробь $ \frac{3}{a} $ к новым знаменателям.

• Чтобы привести дробь к знаменателю $ 4a $, находим дополнительный множитель: $ \frac{4a}{a} = 4 $. Умножаем числитель и знаменатель на $ 4 $:
  $ \frac{3}{a} = \frac{3 \cdot 4}{a \cdot 4} = \frac{12}{4a} $.
• Чтобы привести дробь к знаменателю $ a^2 $, находим дополнительный множитель: $ \frac{a^2}{a} = a $. Умножаем числитель и знаменатель на $ a $:
  $ \frac{3}{a} = \frac{3 \cdot a}{a \cdot a} = \frac{3a}{a^2} $.
• Чтобы привести дробь к знаменателю $ -a $, находим дополнительный множитель: $ \frac{-a}{a} = -1 $. Умножаем числитель и знаменатель на $ -1 $:
  $ \frac{3}{a} = \frac{3 \cdot (-1)}{a \cdot (-1)} = \frac{-3}{-a} $.
• Чтобы привести дробь к знаменателю $ ab $, находим дополнительный множитель: $ \frac{ab}{a} = b $. Умножаем числитель и знаменатель на $ b $:
  $ \frac{3}{a} = \frac{3 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{3b}{ab} $.

Ответ: $ \frac{12}{4a} $; $ \frac{3a}{a^2} $; $ \frac{-3}{-a} $; $ \frac{3b}{ab} $.

б) Приводим дробь $ \frac{x+y}{x} $ к новым знаменателям.

• К знаменателю $ -5x $. Дополнительный множитель: $ \frac{-5x}{x} = -5 $.
  $ \frac{x+y}{x} = \frac{(x+y) \cdot (-5)}{x \cdot (-5)} = \frac{-5x-5y}{-5x} $.
• К знаменателю $ x^2 $. Дополнительный множитель: $ \frac{x^2}{x} = x $.
  $ \frac{x+y}{x} = \frac{(x+y) \cdot x}{x \cdot x} = \frac{x^2+xy}{x^2} $.
• К знаменателю $ -x $. Дополнительный множитель: $ \frac{-x}{x} = -1 $.
  $ \frac{x+y}{x} = \frac{(x+y) \cdot (-1)}{x \cdot (-1)} = \frac{-(x+y)}{-x} = \frac{-x-y}{-x} $.
• К знаменателю $ xy $. Дополнительный множитель: $ \frac{xy}{x} = y $.
  $ \frac{x+y}{x} = \frac{(x+y) \cdot y}{x \cdot y} = \frac{xy+y^2}{xy} $.

Ответ: $ \frac{-5x-5y}{-5x} $; $ \frac{x^2+xy}{x^2} $; $ \frac{-x-y}{-x} $; $ \frac{xy+y^2}{xy} $.

в) Приводим дробь $ \frac{b+3}{b-3} $ к новым знаменателям.

• К знаменателю $ 2b-6 $. Разложим его на множители: $ 2b-6 = 2(b-3) $. Дополнительный множитель: $ \frac{2(b-3)}{b-3} = 2 $.
  $ \frac{b+3}{b-3} = \frac{(b+3) \cdot 2}{(b-3) \cdot 2} = \frac{2b+6}{2b-6} $.
• К знаменателю $ b^2-3b $. Разложим его на множители: $ b^2-3b = b(b-3) $. Дополнительный множитель: $ \frac{b(b-3)}{b-3} = b $.
  $ \frac{b+3}{b-3} = \frac{(b+3) \cdot b}{(b-3) \cdot b} = \frac{b^2+3b}{b^2-3b} $.
• К знаменателю $ 3-b $. Преобразуем его: $ 3-b = -(b-3) $. Дополнительный множитель: $ \frac{-(b-3)}{b-3} = -1 $.
  $ \frac{b+3}{b-3} = \frac{(b+3) \cdot (-1)}{(b-3) \cdot (-1)} = \frac{-b-3}{3-b} $.
• К знаменателю $ (b-3)^2 $. Дополнительный множитель: $ \frac{(b-3)^2}{b-3} = b-3 $.
  $ \frac{b+3}{b-3} = \frac{(b+3)(b-3)}{(b-3)(b-3)} = \frac{b^2-9}{(b-3)^2} $.
• К знаменателю $ b^2-9 $. Разложим его по формуле разности квадратов: $ b^2-9 = (b-3)(b+3) $. Дополнительный множитель: $ \frac{(b-3)(b+3)}{b-3} = b+3 $.
  $ \frac{b+3}{b-3} = \frac{(b+3)(b+3)}{(b-3)(b+3)} = \frac{(b+3)^2}{b^2-9} = \frac{b^2+6b+9}{b^2-9} $.

Ответ: $ \frac{2b+6}{2b-6} $; $ \frac{b^2+3b}{b^2-3b} $; $ \frac{-b-3}{3-b} $; $ \frac{b^2-9}{(b-3)^2} $; $ \frac{b^2+6b+9}{b^2-9} $.