Номер 1.58, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.58*. Сократите дробь:

а) $\frac{5a^2 - 4ab - b^2}{b^2 + 7ab + 10a^2}$;

б) $\frac{20a^2 + 8ab - b^2}{b^2 + 5ab + 6a^2}$.

Какой способ разложения многочленов на множители вы использовали?

Для сокращения дробей необходимо разложить их числители и знаменатели на множители. Поскольку данные многочлены являются однородными многочленами второй степени, мы можем рассматривать их как квадратные трехчлены относительно одной из переменных (например, $a$) и найти их корни для разложения на множители по формуле $A(x - x_1)(x - x_2)$.

а) Сократим дробь $\frac{5a^2 - 4ab - b^2}{b^2 + 7ab + 10a^2}$.

1. Разложим на множители числитель: $5a^2 - 4ab - b^2$.
Решим квадратное уравнение $5a^2 - (4b)a - b^2 = 0$ относительно переменной $a$.
Дискриминант: $D = (-4b)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-b^2) = 16b^2 + 20b^2 = 36b^2$.
Корни уравнения: $a_{1,2} = \frac{4b \pm \sqrt{36b^2}}{10} = \frac{4b \pm 6b}{10}$.
$a_1 = \frac{4b + 6b}{10} = \frac{10b}{10} = b$,
$a_2 = \frac{4b - 6b}{10} = \frac{-2b}{10} = -\frac{b}{5}$.
Следовательно, разложение числителя: $5(a - b)(a - (-\frac{b}{5})) = 5(a - b)(a + \frac{b}{5}) = (a - b)(5a + b)$.

2. Разложим на множители знаменатель: $b^2 + 7ab + 10a^2$, что то же самое, что и $10a^2 + 7ab + b^2$.
Решим квадратное уравнение $10a^2 + (7b)a + b^2 = 0$ относительно переменной $a$.
Дискриминант: $D = (7b)^2 - 4 \cdot 10 \cdot b^2 = 49b^2 - 40b^2 = 9b^2$.
Корни уравнения: $a_{1,2} = \frac{-7b \pm \sqrt{9b^2}}{20} = \frac{-7b \pm 3b}{20}$.
$a_1 = \frac{-7b + 3b}{20} = \frac{-4b}{20} = -\frac{b}{5}$,
$a_2 = \frac{-7b - 3b}{20} = \frac{-10b}{20} = -\frac{b}{2}$.
Следовательно, разложение знаменателя: $10(a - (-\frac{b}{5}))(a - (-\frac{b}{2})) = 10(a + \frac{b}{5})(a + \frac{b}{2}) = (5a + b)(2a + b)$.

3. Сократим дробь, подставив полученные разложения:
$\frac{5a^2 - 4ab - b^2}{b^2 + 7ab + 10a^2} = \frac{(a - b)(5a + b)}{(2a + b)(5a + b)} = \frac{a - b}{2a + b}$.

4. Полученная дробь является неправильной, так как степень числителя равна степени знаменателя. Чтобы выделить целую часть, выполним деление многочлена на многочлен. Для получения целого коэффициента удобно рассматривать многочлены как функции от переменной $b$:
$\frac{a - b}{2a + b} = \frac{-b + a}{b + 2a} = \frac{-(b + 2a) + 2a + a}{b + 2a} = \frac{-(b + 2a) + 3a}{b + 2a} = -1 + \frac{3a}{2a + b}$.
Ответ: $-1 + \frac{3a}{2a + b}$

б) Сократим дробь $\frac{20a^2 + 8ab - b^2}{b^2 + 5ab + 6a^2}$.

1. Разложим на множители числитель: $20a^2 + 8ab - b^2$.
Решим квадратное уравнение $20a^2 + (8b)a - b^2 = 0$ относительно $a$.
Дискриминант: $D = (8b)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-b^2) = 64b^2 + 80b^2 = 144b^2$.
Корни уравнения: $a_{1,2} = \frac{-8b \pm \sqrt{144b^2}}{40} = \frac{-8b \pm 12b}{40}$.
$a_1 = \frac{-8b + 12b}{40} = \frac{4b}{40} = \frac{b}{10}$,
$a_2 = \frac{-8b - 12b}{40} = \frac{-20b}{40} = -\frac{b}{2}$.
Разложение числителя: $20(a - \frac{b}{10})(a - (-\frac{b}{2})) = 20(a - \frac{b}{10})(a + \frac{b}{2}) = (10a - b)(2a + b)$.

2. Разложим на множители знаменатель: $b^2 + 5ab + 6a^2 = 6a^2 + 5ab + b^2$.
Решим квадратное уравнение $6a^2 + (5b)a + b^2 = 0$ относительно $a$.
Дискриминант: $D = (5b)^2 - 4 \cdot 6 \cdot b^2 = 25b^2 - 24b^2 = b^2$.
Корни уравнения: $a_{1,2} = \frac{-5b \pm \sqrt{b^2}}{12} = \frac{-5b \pm b}{12}$.
$a_1 = \frac{-5b + b}{12} = \frac{-4b}{12} = -\frac{b}{3}$,
$a_2 = \frac{-5b - b}{12} = \frac{-6b}{12} = -\frac{b}{2}$.
Разложение знаменателя: $6(a - (-\frac{b}{3}))(a - (-\frac{b}{2})) = 6(a + \frac{b}{3})(a + \frac{b}{2}) = (3a + b)(2a + b)$.

3. Сократим дробь:
$\frac{20a^2 + 8ab - b^2}{b^2 + 5ab + 6a^2} = \frac{(10a - b)(2a + b)}{(3a + b)(2a + b)} = \frac{10a - b}{3a + b}$.

4. Выделим целую часть из полученной неправильной дроби, выполнив деление (рассматривая многочлены как зависящие от $b$):
$\frac{10a - b}{3a + b} = \frac{-b + 10a}{b + 3a} = \frac{-(b + 3a) + 3a + 10a}{b + 3a} = \frac{-(b + 3a) + 13a}{b + 3a} = -1 + \frac{13a}{3a + b}$.
Ответ: $-1 + \frac{13a}{3a + b}$

Какой способ разложения многочленов на множители вы использовали?

Для разложения многочленов на множители был использован метод разложения квадратного трехчлена с помощью нахождения его корней. Однородные многочлены в числителе и знаменателе были представлены как квадратные трехчлены относительно одной из переменных (в данном решении — переменной $a$). После нахождения корней $a_1$ и $a_2$ соответствующего квадратного уравнения вида $Ca^2+Da+E=0$, многочлен раскладывался на множители по формуле $C(a-a_1)(a-a_2)$.