Номер 1.52, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.52*. Постройте график функции:

а) $y = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$;

б) $y = \frac{5x^2 - 10x}{5x}$;

В) $y = \frac{x^2 - 8x + 16}{4 - x}$;

Г) $y = \frac{x^2 + x - 12}{x + 4}$.

а) Исходная функция: $y = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$x + 3 \neq 0$
$x \neq -3$
Таким образом, функция определена для всех $x$, кроме $x = -3$.

2. Упростим выражение для функции. Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
Подставим в исходное уравнение:
$y = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3}$

3. Так как из ОДЗ мы знаем, что $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на $(x + 3)$:
$y = x - 3$

4. Графиком функции является прямая $y = x - 3$ с "выколотой" (удаленной) точкой в том месте, где $x = -3$. Найдем ординату этой точки, подставив $x = -3$ в упрощенную функцию:
$y = -3 - 3 = -6$
Следовательно, точка с координатами $(-3, -6)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой $(-3, -6)$.

б) Исходная функция: $y = \frac{5x^2 - 10x}{5x}$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$5x \neq 0$
$x \neq 0$
Таким образом, функция определена для всех $x$, кроме $x = 0$.

2. Упростим выражение для функции. Вынесем общий множитель $5x$ в числителе за скобки:
$5x^2 - 10x = 5x(x - 2)$
Подставим в исходное уравнение:
$y = \frac{5x(x - 2)}{5x}$

3. Так как из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $5x$:
$y = x - 2$

4. Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой, в которой $x = 0$. Найдем ординату этой точки, подставив $x = 0$ в упрощенную функцию:
$y = 0 - 2 = -2$
Следовательно, точка с координатами $(0, -2)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(0, -2)$.

в) Исходная функция: $y = \frac{x^2 - 8x + 16}{4 - x}$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$4 - x \neq 0$
$x \neq 4$
Таким образом, функция определена для всех $x$, кроме $x = 4$.

2. Упростим выражение для функции. Числитель является полным квадратом $(x - 4)^2$. В знаменателе вынесем минус за скобку: $4-x = -(x-4)$.
$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$
Подставим в исходное уравнение:
$y = \frac{(x - 4)^2}{-(x - 4)}$

3. Так как из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на $(x - 4)$:
$y = \frac{x - 4}{-1} = -(x - 4) = -x + 4$

4. Графиком функции является прямая $y = -x + 4$ с выколотой точкой, в которой $x = 4$. Найдем ординату этой точки, подставив $x = 4$ в упрощенную функцию:
$y = -4 + 4 = 0$
Следовательно, точка с координатами $(4, 0)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x + 4$ с выколотой точкой $(4, 0)$.

г) Исходная функция: $y = \frac{x^2 + x - 12}{x + 4}$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$x + 4 \neq 0$
$x \neq -4$
Таким образом, функция определена для всех $x$, кроме $x = -4$.

2. Упростим выражение для функции. Разложим числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.
Значит, $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$.
Подставим в исходное уравнение:
$y = \frac{(x - 3)(x + 4)}{x + 4}$

3. Так как из ОДЗ мы знаем, что $x \neq -4$, мы можем сократить дробь на $(x + 4)$:
$y = x - 3$

4. Графиком функции является прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой, в которой $x = -4$. Найдем ординату этой точки, подставив $x = -4$ в упрощенную функцию:
$y = -4 - 3 = -7$
Следовательно, точка с координатами $(-4, -7)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой $(-4, -7)$.