Номер 1.59, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.59*. Приведите рациональную дробь к несократимой дроби:

a) $ \frac{3x^4 - 12x^3 + 12x^2}{4x - x^3} $;

б) $ \frac{x^4 + 2x^2 - 3}{x^3 - 2x^2 - x + 2} $.

a) Чтобы привести рациональную дробь $\frac{3x^4 - 12x^3 + 12x^2}{4x - x^3}$ к несократимому виду, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители, а затем сократить общие множители.

1. Разложим на множители числитель: $3x^4 - 12x^3 + 12x^2$.
Сначала вынесем общий множитель $3x^2$ за скобки: $$ 3x^2(x^2 - 4x + 4) $$ Выражение в скобках, $x^2 - 4x + 4$, является формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. $$ x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 $$ Таким образом, числитель в разложенном виде: $$ 3x^2(x-2)^2 $$

2. Разложим на множители знаменатель: $4x - x^3$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(4 - x^2) $$ Выражение в скобках, $4 - x^2$, является формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. $$ 4 - x^2 = (2-x)(2+x) $$ Заметим, что $(2-x) = -(x-2)$. Тогда знаменатель можно записать как: $$ x(2-x)(2+x) = -x(x-2)(x+2) $$

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и выполним сокращение (при условии, что $x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2$): $$ \frac{3x^2(x-2)^2}{-x(x-2)(x+2)} = -\frac{3x^{\cancel{2}}(x-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{x}\cancel{(x-2)}(x+2)} = -\frac{3x(x-2)}{x+2} = \frac{-3x^2+6x}{x+2} $$

4. Полученная дробь $\frac{-3x^2+6x}{x+2}$ является неправильной, так как степень многочлена в числителе (2) больше степени многочлена в знаменателе (1). Чтобы выделить целую часть, выполним деление многочленов в столбик. $$ \begin{array}{r|l} -3x^2+6x \phantom{+0} & x+2 \\ \cline{2-2} \underline{-3x^2-6x} \phantom{+0} & -3x+12 \\ 12x \phantom{+0} \\ \underline{12x+24} \\ -24 \end{array} $$ Частное (целая часть) равно $-3x+12$, а остаток равен $-24$.

Следовательно, дробь можно представить в виде суммы целой части и дроби: $$ -3x+12 + \frac{-24}{x+2} $$

Ответ: $-3x+12 - \frac{24}{x+2}$.

б) Приведем рациональную дробь $\frac{x^4 + 2x^2 - 3}{x^3 - 2x^2 - x + 2}$ к несократимому виду.

1. Разложим на множители числитель: $x^4 + 2x^2 - 3$.
Это биквадратный трехчлен. Сделаем замену переменной $y = x^2$: $$ y^2 + 2y - 3 $$ Найдем корни квадратного уравнения $y^2 + 2y - 3 = 0$. По теореме Виета корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$. Тогда $y^2 + 2y - 3 = (y-1)(y+3)$.
Вернемся к исходной переменной $x$: $$ (x^2-1)(x^2+3) $$ Первый множитель $x^2-1$ является разностью квадратов: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
Таким образом, числитель в разложенном виде: $$ (x-1)(x+1)(x^2+3) $$

2. Разложим на множители знаменатель: $x^3 - 2x^2 - x + 2$.
Применим метод группировки: $$ (x^3 - 2x^2) - (x - 2) = x^2(x-2) - 1(x-2) $$ Вынесем общий множитель $(x-2)$: $$ (x-2)(x^2-1) $$ Множитель $x^2-1$ также является разностью квадратов: $(x-1)(x+1)$.
Таким образом, знаменатель в разложенном виде: $$ (x-2)(x-1)(x+1) $$

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и выполним сокращение (при условии, что $x \neq 2, x \neq 1, x \neq -1$): $$ \frac{(x-1)(x+1)(x^2+3)}{(x-2)(x-1)(x+1)} = \frac{\cancel{(x-1)}\cancel{(x+1)}(x^2+3)}{(x-2)\cancel{(x-1)}\cancel{(x+1)}} = \frac{x^2+3}{x-2} $$

4. Полученная дробь $\frac{x^2+3}{x-2}$ является неправильной, так как степень числителя (2) больше степени знаменателя (1). Выделим целую часть делением в столбик. $$ \begin{array}{r|l} x^2 \phantom{+0x} + 3 & x-2 \\ \cline{2-2} \underline{x^2-2x} \phantom{+3} & x+2 \\ 2x+3 \\ \underline{2x-4} \\ 7 \end{array} $$ Частное (целая часть) равно $x+2$, а остаток равен $7$.

Следовательно, дробь можно представить в виде: $$ x+2 + \frac{7}{x-2} $$

Ответ: $x+2 + \frac{7}{x-2}$.