вопрос 2, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Из данных равенств выберите равенства, верные при всех значениях входящих в них переменных из области определения дроби:

а) $ \frac{2a}{2b} = \frac{a}{b} $;

б) $ \frac{x^2}{3x} = \frac{x}{3} $;

в) $ \frac{3a}{a} = 2a $;

г) $ \frac{3a}{a} = 3 $.

Для того чтобы определить, какие из данных равенств верны при всех значениях переменных из области определения, проанализируем каждое равенство отдельно.

а) $\frac{2a}{2b} = \frac{a}{b}$

Область определения данного равенства определяется условием, что знаменатели дробей не равны нулю. Для дроби в левой части $2b \neq 0$, что означает $b \neq 0$. Для дроби в правой части также $b \neq 0$. Таким образом, равенство рассматривается при $b \neq 0$.

Выполним сокращение дроби в левой части равенства. Числитель и знаменатель имеют общий множитель 2: $$ \frac{2a}{2b} = \frac{2 \cdot a}{2 \cdot b} = \frac{a}{b} $$ Таким образом, левая часть тождественно равна правой части при всех допустимых значениях переменных.

Ответ: Равенство верное.

б) $\frac{x^2}{3x} = \frac{x}{3}$

Область определения для дроби в левой части: $3x \neq 0$, что означает $x \neq 0$. В правой части дроби нет переменной в знаменателе, поэтому она определена для любого $x$. Следовательно, область определения всего равенства - $x \neq 0$.

Выполним сокращение дроби в левой части. Общий множитель числителя и знаменателя - $x$. $$ \frac{x^2}{3x} = \frac{x \cdot x}{3 \cdot x} = \frac{x}{3} $$ Поскольку мы рассматриваем равенство при $x \neq 0$, левая часть тождественно равна правой части.

Ответ: Равенство верное.

в) $\frac{3a}{a} = 2a$

Область определения для дроби в левой части: $a \neq 0$. Правая часть определена для любого $a$. Область определения равенства: $a \neq 0$.

Упростим левую часть, сократив дробь на $a$: $$ \frac{3a}{a} = 3 $$ Теперь сравним полученный результат с правой частью равенства: $3 = 2a$. Это равенство выполняется только при $a = \frac{3}{2}$, а не при всех значениях $a$ из области определения.

Ответ: Равенство неверное. Оно выполняется только при $a = \frac{3}{2} = \mathbf{1}\frac{1}{2}$.

г) $\frac{3a}{a} = 3$

Область определения для дроби в левой части: $a \neq 0$. Правая часть является константой. Область определения равенства: $a \neq 0$.

Упростим левую часть, сократив на $a$ (что возможно, так как $a \neq 0$): $$ \frac{3a}{a} = 3 $$ Сравнив с правой частью, получаем тождество $3 = 3$, которое верно при любых значениях, а значит и для всех $a$ из области определения.

Ответ: Равенство верное. Результат упрощения левой части равен целому числу $\mathbf{3}$.