Номер 1.79, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.79*: Сократите дробь $\frac{x^4 - 4x^2 + 3}{x^3 + 2x^2 - x - 2}$. Какие способы разложения на множители многочлена были использованы?

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители.

Разложение числителя $x^4 - 4x^2 + 3$:

Числитель является биквадратным многочленом. Для его разложения введем новую переменную $y = x^2$. Многочлен принимает вид квадратного трехчлена:

$y^2 - 4y + 3$

Найдем корни уравнения $y^2 - 4y + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Теперь можно разложить квадратный трехчлен на множители: $(y - 1)(y - 3)$.

Выполняем обратную замену $y = x^2$:

$(x^2 - 1)(x^2 - 3)$

Множитель $(x^2 - 1)$ является разностью квадратов и может быть разложен дальше по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Итоговое разложение числителя:

$x^4 - 4x^2 + 3 = (x - 1)(x + 1)(x^2 - 3)$

Разложение знаменателя $x^3 + 2x^2 - x - 2$:

Для разложения кубического многочлена в знаменателе применим метод группировки слагаемых:

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x^3 + 2x^2) - (x + 2)$

Выносим общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 2) - 1(x + 2)$

Выносим общий множитель $(x + 2)$ за скобки:

$(x + 2)(x^2 - 1)$

Выражение $(x^2 - 1)$ также раскладывается по формуле разности квадратов:

$(x + 2)(x - 1)(x + 1)$

Сокращение дроби и выделение целой части:

Подставляем разложения в исходную дробь:

$\frac{x^4 - 4x^2 + 3}{x^3 + 2x^2 - x - 2} = \frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 - 3)}{(x + 2)(x - 1)(x + 1)}$

Сокращаем общие множители $(x - 1)$ и $(x + 1)$, учитывая область допустимых значений ($x \neq 1, x \neq -1, x \neq -2$):

$\frac{\cancel{(x - 1)}\cancel{(x + 1)}(x^2 - 3)}{(x + 2)\cancel{(x - 1)}\cancel{(x + 1)}} = \frac{x^2 - 3}{x + 2}$

Полученная дробь является неправильной, так как степень многочлена в числителе (2) выше степени многочлена в знаменателе (1). Чтобы выделить целую часть, выполним деление многочленов "уголком":

$(x^2 - 3) \div (x + 2) = x - 2$ (остаток 1).

Таким образом, дробь можно представить в виде суммы целой части и правильной дроби:

$\frac{x^2 - 3}{x + 2} = x - 2 + \frac{1}{x + 2}$

Сократите дробь $\frac{x^4 - 4x^2 + 3}{x^3 + 2x^2 - x - 2}$. Ответ: $x - 2$$ + \frac{1}{x+2}$

Какие способы разложения на множители многочлена были использованы? Ответ:

• Для разложения числителя ($x^4 - 4x^2 + 3$):
  1. Метод введения новой переменной (для приведения биквадратного многочлена к квадратному).
  2. Разложение квадратного трехчлена на множители через нахождение его корней.
  3. Применение формулы сокращенного умножения "разность квадратов".
• Для разложения знаменателя ($x^3 + 2x^2 - x - 2$):
  1. Метод группировки.
  2. Вынесение общего множителя за скобки.
  3. Применение формулы сокращенного умножения "разность квадратов".