вопрос 2, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Выберите верное равенство:

а) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = a + b;$

б) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a + b};$

в) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{ab};$

г) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}.$

Чтобы найти верное равенство, необходимо выполнить сложение алгебраических дробей $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.

Для сложения дробей с разными знаменателями их нужно привести к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для дробей со знаменателями $a$ и $b$ является их произведение $ab$.

1. Приведем первую дробь $\frac{1}{a}$ к знаменателю $ab$. Для этого умножим числитель и знаменатель этой дроби на дополнительный множитель $b$:
   $\frac{1}{a} = \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{b}{ab}$
2. Приведем вторую дробь $\frac{1}{b}$ к знаменателю $ab$. Для этого умножим числитель и знаменатель этой дроби на дополнительный множитель $a$:
   $\frac{1}{b} = \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{a}{ab}$
3. Теперь сложим полученные дроби. Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменений:
   $\frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{b+a}{ab}$

Поскольку от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($a+b=b+a$), итоговое выражение имеет вид: $\frac{a+b}{ab}$.

Теперь рассмотрим предложенные варианты:

а) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = a + b$
Равенство неверно. Это одна из частых ошибок, когда путают сложение обратных величин и сложение самих величин. Например, если $a=2, b=3$, то $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$, а $a+b=5$.
Ответ: Неверно.

б) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a+b}$
Равенство неверно. Нельзя складывать дроби, просто складывая их знаменатели. Например, если $a=2, b=3$, то $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$, а $\frac{1}{a+b} = \frac{1}{5}$.
Ответ: Неверно.

в) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{ab}$
Равенство неверно. Здесь найден общий знаменатель, но числители не были домножены на соответствующие дополнительные множители. Правильный числитель должен быть $a+b$, а не $1$. Например, если $a=2, b=3$, то $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$, а $\frac{1}{ab} = \frac{1}{6}$.
Ответ: Неверно.

г) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab}$
Это равенство является верным, так как оно в точности соответствует результату, полученному при правильном сложении дробей с разными знаменателями.
Ответ: Верно.