Номер 1.169, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.169. Найдите частное рациональных дробей:

а) $\frac{4m^2}{n} : \frac{m}{n};$

б) $\frac{a}{3b} : \frac{a}{b^2};$

в) $\frac{x^3}{y^2} : \frac{x^2}{y};$

г) $\frac{9x}{14y} : \frac{5x^2}{28y^2};$

д) $\frac{5a^2b}{3cd^2} : \frac{15a^3}{cd};$

е) $\frac{3x^4y^2}{ab} : \frac{x^2y^2}{18a^3}.$

а) Чтобы найти частное двух рациональных дробей, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (делитель):

$\frac{4m^2}{n} : \frac{m}{n} = \frac{4m^2}{n} \cdot \frac{n}{m}$

Перемножаем числители и знаменатели:

$\frac{4m^2 \cdot n}{n \cdot m}$

Сокращаем дробь на общие множители $n$ и $m$:

$\frac{4m^{2-1}}{1} = 4m$

Ответ: $\mathbf{4}m$

б) Умножаем первую дробь на обратную второй:

$\frac{a}{3b} : \frac{a}{b^2} = \frac{a}{3b} \cdot \frac{b^2}{a}$

Перемножаем и сокращаем общие множители $a$ и $b$:

$\frac{a \cdot b^2}{3b \cdot a} = \frac{b^{2-1}}{3} = \frac{b}{3}$

Ответ: $\frac{b}{3}$

в) Умножаем первую дробь на обратную второй:

$\frac{x^3}{y^2} : \frac{x^2}{y} = \frac{x^3}{y^2} \cdot \frac{y}{x^2}$

Перемножаем и сокращаем общие множители $x^2$ и $y$:

$\frac{x^3 \cdot y}{y^2 \cdot x^2} = \frac{x^{3-2}}{y^{2-1}} = \frac{x}{y}$

Ответ: $\frac{x}{y}$

г) Умножаем первую дробь на обратную второй:

$\frac{9x}{14y} : \frac{5x^2}{28y^2} = \frac{9x}{14y} \cdot \frac{28y^2}{5x^2}$

Перемножаем числители и знаменатели, а затем сокращаем дробь. Сокращаем 28 и 14 на 14, $x$ и $x^2$ на $x$, $y^2$ и $y$ на $y$:

$\frac{9x \cdot 28y^2}{14y \cdot 5x^2} = \frac{9 \cdot (28:14) \cdot y^{2-1}}{ (14:14) \cdot 5 \cdot x^{2-1}} = \frac{9 \cdot 2 \cdot y}{1 \cdot 5 \cdot x} = \frac{18y}{5x}$

Числовой коэффициент $\frac{18}{5}$ является неправильной дробью. Выделим из него целую часть: $\frac{18}{5} = 3\frac{3}{5}$.

Ответ: $\mathbf{3}\frac{3}{5} \cdot \frac{y}{x}$

д) Умножаем первую дробь на обратную второй:

$\frac{5a^2b}{3cd^2} : \frac{15a^3}{cd} = \frac{5a^2b}{3cd^2} \cdot \frac{cd}{15a^3}$

Перемножаем и сокращаем. Сокращаем 5 и 15 на 5, $a^2$ и $a^3$ на $a^2$, $c$ на $c$, $d$ и $d^2$ на $d$:

$\frac{5a^2b \cdot cd}{3cd^2 \cdot 15a^3} = \frac{(5:5) \cdot b}{3 \cdot d^{2-1} \cdot (15:5) \cdot a^{3-2}} = \frac{b}{3d \cdot 3a} = \frac{b}{9ad}$

Ответ: $\frac{b}{9ad}$

е) Умножаем первую дробь на обратную второй:

$\frac{3x^4y^2}{ab} : \frac{x^2y^2}{18a^3} = \frac{3x^4y^2}{ab} \cdot \frac{18a^3}{x^2y^2}$

Перемножаем и сокращаем. Сокращаем $x^4$ и $x^2$ на $x^2$, $y^2$ на $y^2$, $a^3$ и $a$ на $a$:

$\frac{3x^4y^2 \cdot 18a^3}{ab \cdot x^2y^2} = \frac{3 \cdot 18 \cdot a^{3-1} \cdot x^{4-2}}{b} = \frac{54a^2x^2}{b}$

Ответ: $\mathbf{54}\frac{a^2x^2}{b}$