Номер 1.168, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.168. Выполните умножение рациональных дробей:

а) $ \frac{5x}{y} \cdot \frac{y}{15x} $;

б) $ \frac{12a}{b^2} \cdot \frac{b^2c}{4a} $;

в) $ \frac{b}{cd} \cdot \frac{d^4}{7b} $;

г) $ \frac{m}{nk} \cdot \frac{n}{2mk} $;

д) $ \frac{x^3y}{6z} \cdot \frac{18z}{xy^3} $;

е) $ \frac{b^5c^2}{12mn} \cdot \frac{9m^2}{b^3c^2} $.

а) Для выполнения умножения рациональных дробей необходимо умножить их числители и знаменатели соответственно, а затем сократить полученную дробь.

$\frac{5x}{y} \cdot \frac{y}{15x} = \frac{5x \cdot y}{y \cdot 15x} = \frac{5xy}{15xy}$

Сокращаем общие множители в числителе и знаменателе. Коэффициент $\frac{5}{15}$ сокращается до $\frac{1}{3}$. Переменные $x$ и $y$ также сокращаются.

$\frac{\cancel{5}\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{15}_3\cancel{x}\cancel{y}} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Умножаем числители и знаменатели дробей:

$\frac{12a}{b^2} \cdot \frac{b^2c}{4a} = \frac{12a \cdot b^2c}{b^2 \cdot 4a} = \frac{12ab^2c}{4ab^2}$

Сокращаем полученную дробь. Коэффициент $\frac{12}{4}$ равен $3$. Множители $a$ и $b^2$ в числителе и знаменателе сокращаются.

$\frac{\cancel{12}_3 \cancel{a} \cancel{b^2} c}{\cancel{4} \cancel{a} \cancel{b^2}} = 3c$

В данном случае результат является выражением с целым коэффициентом 3.

Ответ: $\mathbf{3}c$.

в) Выполним умножение дробей, перемножив числители и знаменатели:

$\frac{b}{cd} \cdot \frac{d^4}{7b} = \frac{b \cdot d^4}{cd \cdot 7b} = \frac{bd^4}{7bcd}$

Сокращаем общие множители. Переменная $b$ сокращается. Степень переменной $d$ упрощается: $\frac{d^4}{d} = d^{4-1} = d^3$.

$\frac{\cancel{b} d^{\cancel{4}_3}}{7c\cancel{d}\cancel{b}} = \frac{d^3}{7c}$

Ответ: $\frac{d^3}{7c}$.

г) Умножаем дроби:

$\frac{m}{nk} \cdot \frac{n}{2mk} = \frac{m \cdot n}{nk \cdot 2mk} = \frac{mn}{2mnk^2}$

Сокращаем общие множители $m$ и $n$ в числителе и знаменателе.

$\frac{\cancel{m}\cancel{n}}{2\cancel{m}\cancel{n}k^2} = \frac{1}{2k^2}$

Ответ: $\frac{1}{2k^2}$.

д) Выполним умножение, перемножив числители и знаменатели:

$\frac{x^3y}{6z} \cdot \frac{18z}{xy^3} = \frac{x^3y \cdot 18z}{6z \cdot xy^3} = \frac{18x^3yz}{6xy^3z}$

Сокращаем дробь. Коэффициент $\frac{18}{6}$ равен $3$. Сокращаем степени переменных: $\frac{x^3}{x} = x^2$, $\frac{y}{y^3} = \frac{1}{y^2}$. Переменная $z$ сокращается.

$\frac{\cancel{18}_3 x^{\cancel{3}_2} \cancel{y} \cancel{z}}{\cancel{6} \cancel{x} y^{\cancel{3}_2} \cancel{z}} = \frac{3x^2}{y^2}$

Коэффициент результата является целым числом 3.

Ответ: $\frac{\mathbf{3}x^2}{y^2}$.

е) Умножаем дроби:

$\frac{b^5c^2}{12mn} \cdot \frac{9m^2}{b^3c^2} = \frac{b^5c^2 \cdot 9m^2}{12mn \cdot b^3c^2} = \frac{9b^5c^2m^2}{12b^3c^2mn}$

Сокращаем полученную дробь. Коэффициент $\frac{9}{12}$ сокращается на 3 и становится $\frac{3}{4}$. Сокращаем степени переменных: $\frac{b^5}{b^3} = b^2$, $\frac{m^2}{m} = m$. Множитель $c^2$ сокращается.

$\frac{\cancel{9}_3 b^{\cancel{5}_2} \cancel{c^2} m^{\cancel{2}}}{\cancel{12}_4 \cancel{b^3} \cancel{c^2} \cancel{m} n} = \frac{3b^2m}{4n}$

Ответ: $\frac{3b^2m}{4n}$.