Номер 2.22, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.22. Приведите пример функции $y = f(x)$, у которой:

а) $D(f) = [7; + \infty)$;

б) $D(f) = (-\infty; 2)$;

в) $D(f) = [-3; 3]$;

г) $D(f) = (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$.

а) Область определения функции $D(f) = [7; +\infty)$ означает, что функция определена для всех значений $x$, которые больше или равны 7. То есть, $x \ge 7$.

Для создания такой функции удобно использовать квадратный корень, так как выражение под корнем должно быть неотрицательным. Нам нужно найти такое выражение $g(x)$, чтобы неравенство $g(x) \ge 0$ было равносильно неравенству $x \ge 7$.

Простейшим таким выражением является $g(x) = x - 7$.

Таким образом, функция $y = \sqrt{x-7}$ имеет требуемую область определения, поскольку $\sqrt{x-7}$ определен тогда и только тогда, когда $x-7 \ge 0$, то есть $x \ge 7$.

Ответ: $y = \sqrt{x-7}$

б) Область определения функции $D(f) = (-\infty; 2]$ означает, что функция определена для всех значений $x$, которые меньше или равны 2. То есть, $x \le 2$.

Аналогично пункту а), воспользуемся свойством квадратного корня. Нам нужно подобрать такое выражение $g(x)$, чтобы $g(x) \ge 0$ при $x \le 2$.

Выберем выражение $g(x) = 2 - x$. Неравенство $2 - x \ge 0$ равносильно $x \le 2$.

Следовательно, функция $y = \sqrt{2-x}$ имеет заданную область определения.

Ответ: $y = \sqrt{2-x}$

в) Область определения функции $D(f) = [-3; 3]$ означает, что функция определена для всех $x$ на отрезке от -3 до 3 включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-3 \le x \le 3$.

Данное неравенство эквивалентно неравенству $x^2 \le 9$, или $9 - x^2 \ge 0$.

Выражение $g(x) = 9 - x^2$ является неотрицательным как раз на отрезке $[-3; 3]$. Поместив его под знак квадратного корня, мы получим функцию с нужной областью определения.

Примером такой функции является $y = \sqrt{9-x^2}$.

Ответ: $y = \sqrt{9-x^2}$

г) Область определения функции $D(f) = (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$ состоит из двух открытых лучей. Функция определена для всех $x < 2$ и для всех $x > 4$.

Такая область определения возникает, когда некоторое выражение должно быть строго положительным. Например, если это выражение стоит под знаком логарифма или под знаком квадратного корня в знаменателе дроби.

Рассмотрим квадратичное выражение, корни которого равны 2 и 4: $g(x) = (x-2)(x-4) = x^2 - 6x + 8$. Графиком функции $y=g(x)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Она принимает положительные значения, когда $x$ находится вне интервала между корнями, то есть при $x < 2$ или $x > 4$.

Чтобы потребовать строгого неравенства $g(x) > 0$, можно использовать функцию вида $y = \frac{1}{\sqrt{g(x)}}$. В этом случае область определения задается условием $g(x) > 0$, что полностью соответствует нашему заданию.

Таким образом, примером функции с искомой областью определения является $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 8}}$.

Ответ: $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 8}}$