Номер 2.21, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

а) Дана функция $y = \sqrt{x + 3}$.

Функция определена, когда выражение под знаком квадратного корня неотрицательно (больше или равно нулю).

Составим и решим неравенство:

$x + 3 \ge 0$

$x \ge -3$

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные -3.

В виде интервала это записывается как $[-3, \infty)$.

Ответ: $D(y) = [-3, \infty)$.

б) Дана функция $y = \sqrt{5x - 1}$.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$5x - 1 \ge 0$

$5x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{5}$

Область определения функции — это все числа, большие или равные $\frac{1}{5}$.

В виде интервала это записывается как $[\frac{1}{5}, \infty)$.

Ответ: $D(y) = [\frac{1}{5}, \infty)$.

в) Дана функция $y = \frac{5}{\sqrt{7 - 0,1x}}$.

Здесь присутствуют две ограничивающие операции: деление и извлечение квадратного корня. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, а выражение под корнем не может быть отрицательным. Так как корень находится в знаменателе, выражение под ним должно быть строго больше нуля.

Составим и решим строгое неравенство:

$7 - 0,1x > 0$

$7 > 0,1x$

Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от дроби:

$70 > x$ или $x < 70$

Область определения функции — это все числа, меньшие 70.

В виде интервала это записывается как $(-\infty, 70)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 70)$.

г) Дана функция $y = \sqrt{x^2 - 6x + 8}$.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Решим квадратное неравенство:

$x^2 - 6x + 8 \ge 0$

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$ (так как $2+4=6$ и $2 \cdot 4=8$).

Парабола $y = x^2 - 6x + 8$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения функции неотрицательны при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \le 2$ или $x \ge 4$.

Область определения — это объединение двух интервалов.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.

д) Дана функция $y = \sqrt{10x - x^2 - 9}$.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Решим неравенство:

$10x - x^2 - 9 \ge 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный, чтобы получить стандартный вид квадратного трехчлена:

$x^2 - 10x + 9 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$.

По теореме Виета, корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 9$ (так как $1+9=10$ и $1 \cdot 9=9$).

Парабола $y = x^2 - 10x + 9$ имеет ветви, направленные вверх. Следовательно, значения функции неположительны (меньше или равны нулю) при $x$, находящихся между корнями (включая сами корни).

Решение неравенства: $1 \le x \le 9$.

Ответ: $D(y) = [1, 9]$.

е) Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.

Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля.

Решим строгое неравенство:

$x^2 - 25 > 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 5)(x + 5) > 0$

Корни соответствующего уравнения: $x_1 = -5$, $x_2 = 5$.

Парабола $y = x^2 - 25$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции положительны при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x < -5$ или $x > 5$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -5) \cup (5, \infty)$.