Номер 2.17, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.17. Приведите пример графика функции $y = f(x)$, для которой известно, что:

a) $D(f) = [-7; 5]; E(f) = [-2; 3]; f(1) = 3;

б)* $D(f) = [-8; -2) \cup (-2; 4]; E(f) = [-3; -1) \cup (-1; 5]; f(0) = -3; f(1) = -2.

а) Для построения примера графика функции $y = f(x)$ необходимо выполнить три условия:

1. Область определения $D(f) = [-7; 5]$: график должен существовать только для значений $x$ в этом отрезке.
2. Область значений $E(f) = [-2; 3]$: все значения $y$ должны находиться в этом отрезке, причем должны быть достигнуты как минимум $y=-2$, так и максимум $y=3$.
3. Точка на графике $f(1) = 3$: график должен проходить через точку $(1; 3)$.

Из условий 2 и 3 следует, что $y=3$ является максимальным значением функции, которое достигается при $x=1$. Точка $(1; 3)$ — это точка максимума. Минимальное значение $y=-2$ должно достигаться при каком-то $x$ из области определения.

Ответ: В качестве примера можно привести график, состоящий из двух отрезков прямых (ломаную линию), соединяющих три ключевые точки:

• $A(-7; -2)$: Эта точка обеспечивает достижение минимума функции $y=-2$ и соответствует левой границе области определения.
• $B(1; 3)$: Эта точка является максимумом функции, как того требуют условия.
• $C(5; 0)$: Эта точка соответствует правой границе области определения. Ордината $y=0$ выбрана произвольно из диапазона $[-2; 3]$.

Ломаная $ABC$ удовлетворяет всем заданным условиям. Её область определения — это проекция на ось Ox, отрезок $[-7; 5]$. Область значений — это проекция на ось Oy, отрезок от минимального значения -2 до максимального 3, то есть $[-2; 3]$. График проходит через точку $(1; 3)$.

б) Для построения примера графика функции $y = f(x)$ необходимо выполнить следующие условия:

1. Область определения $D(f) = [-8; -2) \cup (-2; 4]$: функция определена для всех $x$ от -8 (включительно) до 4 (включительно), кроме $x=-2$. В точке $x=-2$ у графика будет разрыв.
2. Область значений $E(f) = [-3; -1) \cup (-1; 5]$: функция принимает все значения от -3 до 5, за исключением $y=-1$.
3. Точки на графике: $f(0) = -3$ и $f(1) = -2$. Это означает, что график проходит через точки $(0; -3)$ и $(1; -2)$.

Из условий следует, что точка $(0; -3)$ является точкой абсолютного минимума функции. График будет состоять из двух отдельных частей.

Ответ: Можно привести пример графика, состоящего из двух частей, которые вместе удовлетворяют всем условиям.

Часть 1, для $x \in [-8; -2)$:

Эта часть должна покрыть диапазон значений $(-1; 5]$. Для этого можно провести отрезок прямой от точки $A(-8; 5)$ (закрашенная) до точки $B(-2; -1)$ (выколотая).

• Точка $A(-8; 5)$ обеспечивает достижение максимума функции $y=5$ и соответствует левой границе области определения.
• Точка $B(-2; -1)$ является выколотой, так как $x=-2$ не входит в область определения, а $y=-1$ не входит в область значений. Прямая будет стремиться к этой точке, но не достигнет её.

Такой отрезок имеет область определения $[-8; -2)$ и область значений $(-1; 5]$.

Эта часть должна содержать точки $(0; -3)$ и $(1; -2)$ и покрыть диапазон значений $[-3; -1)$. Можно построить ломаную, состоящую из нескольких отрезков:

1. Отрезок от выколотой точки $C(-2; -1)$ до закрашенной точки $D(0; -3)$. Этот отрезок обеспечивает поведение функции вблизи разрыва и достижение минимума.
2. Отрезок от $D(0; -3)$ до $E(1; -2)$, чтобы выполнить условие $f(1)=-2$.
3. Отрезок от $E(1; -2)$ до точки на правой границе, например, $F(4; -2.5)$. Конечная точка $F$ выбрана так, чтобы абсцисса $x=4$ была правой границей области определения, а ордината $y=-2.5$ находилась внутри требуемого диапазона значений $[-3; -1)$.

Эта ломаная (с выколотым началом C) имеет область определения $(-2; 4]$ и область значений $[-3; -1)$.

Объединив обе части, мы получаем график функции, который полностью удовлетворяет всем заданным в условии задачи требованиям.