Номер 2.10, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.10. Найдите все значения аргумента, при которых значение функции равно 5:

а) $f(x) = x^2 + 4x$;

б) $g(x) = \frac{2}{x}$;

в) $h(x) = |x|$.

а) Чтобы найти значения аргумента, при которых значение функции $f(x) = x^2 + 4x$ равно 5, необходимо решить уравнение $f(x) = 5$:
$x^2 + 4x = 5$
Для решения перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 4x - 5 = 0$
Решим это уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант.
Сначала найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=4$, $c=-5$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$
Поскольку дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Следовательно, функция $f(x)$ равна 5 при значениях аргумента -5 и 1.
Ответ: -5; 1.

б) Чтобы найти значения аргумента, при которых значение функции $g(x) = \frac{2}{x}$ равно 5, необходимо решить уравнение $g(x) = 5$:
$\frac{2}{x} = 5$
Областью определения данной функции являются все действительные числа, кроме $x=0$.
Для нахождения $x$ умножим обе части уравнения на $x$ (это допустимо, так как $x \neq 0$):
$2 = 5x$
Теперь разделим обе части на 5:
$x = \frac{2}{5}$
Полученное значение входит в область определения функции.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

в) Чтобы найти значения аргумента, при которых значение функции $h(x) = |x|$ равно 5, необходимо решить уравнение $h(x) = 5$:
$|x| = 5$
По определению модуля, это уравнение означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой равно 5. Этому условию удовлетворяют две точки: 5 и -5.
Формально, уравнение $|A| = B$ (при $B \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.
Применяя это правило, получаем:
$x = 5$ или $x = -5$
Таким образом, функция $h(x)$ равна 5 при значениях аргумента 5 и -5.
Ответ: -5; 5.