Номер Исследовательское задание, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

Исследовательское задание.

Всегда ли по графикам уравнений системы можно определить решения системы уравнений? Определите число решений системы уравнений $ \begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ y = x^2. \end{cases} $ Попробуйте привести пример, когда число решений системы уравнений нельзя определить по графикам уравнений.

Всегда ли по графикам уравнений системы можно определить решения системы уравнений?

Нет, не всегда. Графический метод является приблизительным. Он позволяет наглядно представить количество решений (как число точек пересечения графиков) и их примерные значения. Однако он имеет существенные ограничения:

• Точность: С помощью графика практически невозможно определить точные значения решений, если они не являются целыми числами или простыми дробями.
• Скрытые решения: Некоторые решения могут находиться далеко от начала координат и не попасть в область построения графика.
• Сливающиеся решения: Если графики пересекаются в нескольких очень близких точках или почти касаются друг друга, на графике это может выглядеть как одна точка пересечения (касание) или как полное отсутствие пересечений. В таких случаях определить точное количество решений по графику невозможно.

Таким образом, для нахождения точных решений и их количества необходимо использовать аналитические методы (подстановка, сложение и т.д.).

Ответ: Нет, не всегда.

Определите число решений системы уравнений $\begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ y = x^2. \end{cases}$

Для решения данной системы приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y$):

$\sqrt{x} = x^2$

Область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения $y = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$.

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (x^2)^2$

$x = x^4$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^4 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^3 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x_2 = 1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$). Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, подставив их в любое из уравнений системы (например, в $y = x^2$):

• При $x_1 = 0$, $y_1 = 0^2 = 0$. Первое решение: $(0; 0)$.
• При $x_2 = 1$, $y_2 = 1^2 = 1$. Второе решение: $(1; 1)$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: 2.

Попробуйте привести пример, когда число решений системы уравнений нельзя определить по графикам уравнений.

Рассмотрим параболу $y = x^2$ и прямую $y = 2x - c$, где $c$ — некоторое число, близкое к 1. Число решений системы $\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x - c \end{cases}$ зависит от значения $c$.

Приравняем правые части: $x^2 = 2x - c \implies x^2 - 2x + c = 0$.

Число решений зависит от дискриминанта $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 4 - 4c$.

1. Нет решений ($D < 0$): Возьмем $c = 1.01$. Тогда $D = 4 - 4(1.01) = -0.04 < 0$. Система $\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x - 1.01 \end{cases}$ не имеет решений. Прямая проходит "под" параболой, не пересекая ее.
2. Одно решение ($D = 0$): Возьмем $c = 1$. Тогда $D = 4 - 4(1) = 0$. Система $\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x - 1 \end{cases}$ имеет одно решение (точка касания).
3. Два решения ($D > 0$): Возьмем $c = 0.99$. Тогда $D = 4 - 4(0.99) = 0.04 > 0$. Система $\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x - 0.99 \end{cases}$ имеет два решения. Прямая пересекает параболу в двух очень близких точках.

При построении графиков для этих трех систем вручную или на экране компьютера без сильного увеличения все три случая будут выглядеть практически одинаково — как касание прямой и параболы. Различить на глаз, есть ли одно решение, два или ни одного, невозможно. Это наглядно показывает, что графический метод может быть неточным для определения количества решений.

Ответ: Пример — системы уравнений $\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x - 1.01 \end{cases}$ (0 решений), $\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x - 1 \end{cases}$ (1 решение) и $\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x - 0.99 \end{cases}$ (2 решения), которые на графике практически неразличимы.