Номер 2, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Найдите все функции $f$, удовлетворяющие уравнению

$f(x) + (x - 2)f(1) + 3f(0) = x^3 + 2, x \in \mathbb{R}$.

Данное функциональное уравнение должно выполняться для всех действительных чисел $x$. Это позволяет нам находить значения функции в отдельных точках, подставляя конкретные значения $x$. В уравнении присутствуют константы $f(1)$ и $f(0)$. Найдем их значения.

$$f(x) + (x - 2)f(1) + 3f(0) = x^3 + 2$$

1. Найдем значение $f(0)$

Подставим в уравнение $x = 1$:

$$f(1) + (1 - 2)f(1) + 3f(0) = 1^3 + 2$$

$$f(1) - f(1) + 3f(0) = 1 + 2$$

$$3f(0) = 3$$

$$f(0) = 1$$

2. Найдем значение $f(1)$

Подставим в уравнение $x = 0$:

$$f(0) + (0 - 2)f(1) + 3f(0) = 0^3 + 2$$

$$4f(0) - 2f(1) = 2$$

Мы уже знаем, что $f(0) = 1$. Подставим это значение в полученное равенство:

$$4(1) - 2f(1) = 2$$

$$4 - 2f(1) = 2$$

$$2 = 2f(1)$$

$$f(1) = 1$$

3. Найдем функцию $f(x)$

Теперь, когда мы знаем значения $f(0) = 1$ и $f(1) = 1$, подставим их в исходное функциональное уравнение:

$$f(x) + (x - 2)(1) + 3(1) = x^3 + 2$$

$$f(x) + x - 2 + 3 = x^3 + 2$$

$$f(x) + x + 1 = x^3 + 2$$

Выразим $f(x)$:

$$f(x) = x^3 - x + 2 - 1$$

$$f(x) = x^3 - x + 1$$

4. Проверка

Убедимся, что найденная функция удовлетворяет исходному уравнению. Подставим $f(x) = x^3 - x + 1$, $f(1)=1$ и $f(0)=1$ в левую часть уравнения:

$$(x^3 - x + 1) + (x - 2)(1) + 3(1) = x^3 - x + 1 + x - 2 + 3 = x^3 + 2$$

Левая часть совпала с правой ($x^3 + 2$), следовательно, функция найдена верно.

Ответ:

Единственная функция, удовлетворяющая данному уравнению: $$f(x) = x^3 - x + 1$$