вопрос 2, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Выберите верные утверждения:

а) если числитель дроби равен нулю, то дробь равна нулю;

б) если дробь равна нулю, то ее числитель равен нулю;

в) если дробь не равна нулю, то ее числитель не равен нулю;

г) если числитель дроби не равен нулю, то дробь не равна нулю.

Для анализа данных утверждений рассмотрим дробь общего вида $\frac{a}{b}$, где $a$ – числитель, а $b$ – знаменатель. Дробь равна нулю ($\frac{a}{b} = 0$) тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю ($a=0$), а знаменатель не равен нулю ($b \neq 0$). Если знаменатель равен нулю ($b=0$), дробь считается неопределенной, независимо от значения числителя. Неопределенное выражение не равно нулю.

а) если числитель дроби равен нулю, то дробь равна нулю;
Это утверждение не всегда верно. Оно гласит, что если $a=0$, то $\frac{a}{b}=0$. Однако, если знаменатель $b$ также равен нулю, то выражение $\frac{0}{0}$ является неопределенностью, а не нулем. Поскольку существует контрпример, утверждение в общем виде является ложным.
Ответ: неверно.

б) если дробь равна нулю, то ее числитель равен нулю;
Это утверждение верно. По определению, равенство $\frac{a}{b} = 0$ выполняется только в том случае, когда числитель $a=0$, а знаменатель $b \neq 0$. Таким образом, из условия, что дробь равна нулю, необходимо следует, что ее числитель равен нулю.
Ответ: верно.

в) если дробь не равна нулю, то ее числитель не равен нулю;
Это утверждение неверно. Рассмотрим в качестве контрпримера случай, когда числитель $a=0$ и знаменатель $b=0$. Дробь $\frac{0}{0}$ не определена, и, следовательно, она "не равна нулю". Таким образом, условие утверждения выполнено. Однако его заключение "числитель не равен нулю" является ложным, так как $a=0$.
Ответ: неверно.

г) если числитель дроби не равен нулю, то дробь не равна нулю.
Это утверждение верно. Если числитель $a \neq 0$, то возможны два случая:

1. Знаменатель $b \neq 0$. В этом случае дробь $\frac{a}{b}$ определена и ее значение отлично от нуля, так как для равенства дроби нулю ее числитель должен быть равен нулю.
2. Знаменатель $b = 0$. В этом случае дробь $\frac{a}{b}$ не определена, а значит, не может быть равна нулю.

В обоих случаях, если числитель не равен нулю, то и дробь не равна нулю.
Ответ: верно.