Номер 3.10, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.10. В обыкновенной дроби числитель на 5 меньше знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 3, а знаменатель увеличить на 7, то получится дробь $ \frac{4}{19} $. Найдите исходную дробь.

Пусть знаменатель исходной дроби равен $x$.

Согласно условию задачи, числитель на 5 меньше знаменателя, следовательно, числитель равен $x - 5$.

Таким образом, исходная дробь имеет вид $\frac{x-5}{x}$.

Если числитель этой дроби уменьшить на 3, то новый числитель будет равен $(x - 5) - 3 = x - 8$.

Если знаменатель увеличить на 7, то новый знаменатель будет равен $x + 7$.

В результате этих изменений получится дробь $\frac{x-8}{x+7}$, которая по условию равна $\frac{4}{19}$.

Составим уравнение на основе этих данных:

$\frac{x - 8}{x + 7} = \frac{4}{19}$

Для решения уравнения воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$19 \cdot (x - 8) = 4 \cdot (x + 7)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$19x - 152 = 4x + 28$

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$19x - 4x = 28 + 152$

Приведем подобные слагаемые:

$15x = 180$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 15:

$x = \frac{180}{15}$

$x = 12$

Мы нашли знаменатель исходной дроби, он равен 12.

Теперь найдем числитель исходной дроби, который равен $x - 5$:

$12 - 5 = 7$

Таким образом, исходная дробь — это $\frac{7}{12}$.

Проведем проверку:

• Числитель (7) на 5 меньше знаменателя (12): $12 - 7 = 5$. Верно.
• Уменьшаем числитель на 3: $7 - 3 = 4$. Увеличиваем знаменатель на 7: $12 + 7 = 19$. Новая дробь: $\frac{4}{19}$. Верно.

Ответ: $\frac{7}{12}$.