Номер 3.7, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.7. Придумайте два дробно-рациональных уравнения, равносильных уравнению $8x - 16 = 0$.

Для того чтобы придумать дробно-рациональные уравнения, равносильные уравнению $8x - 16 = 0$, необходимо сначала найти корень данного уравнения, а затем составить новые уравнения, которые будут иметь тот же самый единственный корень.

1. Найдем корень исходного уравнения:

$8x - 16 = 0$

$8x = 16$

$x = \frac{16}{8}$

$x = 2$

Таким образом, множество решений исходного уравнения состоит из одного числа: $\{2\}$. Равносильные уравнения должны иметь точно такое же множество решений.

2. Вспомним, что дробно-рациональное уравнение имеет вид $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$. Его решение находится при выполнении двух условий:

$$ \begin{cases} P(x) = 0 \\ Q(x) \neq 0 \end{cases} $$

Это значит, что корень уравнения должен быть корнем числителя $P(x)$ и не должен быть корнем знаменателя $Q(x)$ (т.е. должен входить в область допустимых значений - ОДЗ).

Теперь составим два таких уравнения.

Первое уравнение.Для числителя $P(x)$ можно взять левую часть исходного уравнения: $P(x) = 8x - 16$. Корень этого многочлена, как мы знаем, $x=2$. Для знаменателя $Q(x)$ нужно подобрать такой многочлен, который при $x=2$ не равен нулю. Например, возьмем $Q(x) = x$. При $x=2$, знаменатель равен $2$, что не равно нулю. Получаем уравнение:$$ \frac{8x - 16}{x} = 0 $$Проверим его решение:

• Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.
• Решаем уравнение $8x - 16 = 0$, получаем $x=2$.
• Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 \neq 0$), значит, это единственный корень уравнения.

Так как множество решений $\{2\}$ совпадает с множеством решений исходного уравнения, эти уравнения равносильны. Ответ: 2

Второе уравнение.Построим уравнение, используя другой подход. Составим числитель $P(x)$ так, чтобы у него было два корня: искомый корень $x=2$ и некоторый "посторонний" корень, например, $x=3$. Тогда числитель можно записать в виде произведения: $P(x) = (x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$. Теперь нужно выбрать знаменатель $Q(x)$ так, чтобы он "отменил" посторонний корень $x=3$. для этого знаменатель должен быть равен нулю при $x=3$. Самый простой вариант: $Q(x) = x-3$. Важно проверить, что при $x=2$ знаменатель не равен нулю: $Q(2) = 2-3 = -1 \neq 0$. Это условие выполняется. Получаем уравнение:$$ \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} = 0 $$Проверим его решение:

• Область допустимых значений (ОДЗ): $x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.
• Решаем уравнение числителя: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Его корни $x_1=2$ и $x_2=3$.
• Сравниваем корни с ОДЗ:
  • $x_1=2$ удовлетворяет условию $x \neq 3$, следовательно, является корнем уравнения.
  • $x_2=3$ не удовлетворяет условию $x \neq 3$, следовательно, это посторонний корень и он не является решением уравнения.

Единственным решением является $x=2$. Следовательно, это уравнение также равносильно исходному. Ответ: 2