Номер 3.8, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.8. Используйте условие равенства дроби нулю и найдите все значения переменной, при которых дробь $\frac{x^4 - 5x^2 + 4}{x^2 - 1}$ равна нулю.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это условие для дроби $\frac{x^4 - 5x^2 + 4}{x^2 - 1}$ можно записать в виде системы:

Последовательно решим уравнение и неравенство.

1. Решим уравнение числителя: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной: пусть $y = x^2$. Учитывая, что квадрат любого действительного числа неотрицателен, $y \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Отсюда легко найти корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = 4$

Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$:

• Если $y = 1$, то $x^2 = 1$. Корнями этого уравнения являются $x = 1$ и $x = -1$.
• Если $y = 4$, то $x^2 = 4$. Корнями этого уравнения являются $x = 2$ и $x = -2$.

Таким образом, числитель дроби обращается в ноль при следующих значениях переменной: $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$.

2. Теперь рассмотрим условие для знаменателя: $x^2 - 1 \neq 0$.

Решим уравнение $x^2 - 1 = 0$, чтобы найти недопустимые значения $x$.

$x^2 = 1$

Отсюда $x = 1$ и $x = -1$.

Следовательно, знаменатель не должен быть равен нулю при $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Это область допустимых значений (ОДЗ) для данной дроби.

3. Для нахождения окончательного ответа необходимо из множества корней числителя $\{-2, -1, 1, 2\}$ исключить значения, которые не входят в ОДЗ. Такими значениями являются $x=1$ и $x=-1$.

После исключения остаются значения $x=2$ и $x=-2$. При этих значениях переменной числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Все значения переменной, при которых дробь равна нулю. Ответ: $x = 2$, $x = -2$.